« Nombre harshad » : différence entre les versions

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En mathématiques récréatives, un nombre harshad, ou nombre de Niven, est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. En base b, tous les nombres de 0 à b et toutes les puissances de b sont des nombres harshad, mais ils suivent ensuite une répartition similaire à celle des nombres premiers.

Historique[modifier | modifier le code]

Ils semblerait que ces nombres aient été considérés pour la première fois par le mathématicien indien D. R. Kaprekar dans un texte de 1955 sous le nom de "multidigital numbers" ^[1] . L'appellation harshad, qui signifie grande joie en sanskrit, leur a été donnée par la suite. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977.

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Nombre harshad en base dix[modifier | modifier le code]

En base dix, les vingt premiers nombres harshad strictement supérieurs à 10 sont (suite A005349 de l'OEIS) :

12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80 et 81.

Les quotients obtenus se trouvent dans la suite A113315 de l'OEIS.

Quels nombres peuvent être des nombres harshad ?[modifier | modifier le code]

Les multiples de 9 à deux chiffres jusqu'à 90 sont des nombres harshad puisque la somme de leurs chiffres est égale à 9, mais 99 n'en est pas un, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad^[2]. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Tout entier > 0 est-il la somme des chiffres d'un nombre harshad ?[modifier | modifier le code]

Dans son article^[1], Kaprekar semble admettre cette propriété comme évidente. Elle est en effet exacte, et démontrée par exemple dans^[3] en utilisant le théorème d'Euler.

Voici quelques couples $(n,h_{n})$ où $h_{n}$ est le plus petit harshad ayant $n$ pour somme des chiffres :

$(10,190);(11,209=11\times 19);(12,48=12\times 4);(13,247=13\times 19);(14,266=14\times 19)$

La suite $(h_{n})$ est la suite A002998 de l'OEIS.

Nombres harshad consécutifs[modifier | modifier le code]

Cooper et Kennedy ont démontré^[4]^,^[5] qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 10^{44 363 342 786}) qui sont tous des nombres harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.

Estimation de la densité des nombres harshad[modifier | modifier le code]

Si l'on note $N(x)$ le nombre de nombres harshad inférieurs ou égaux à $x$ , alors^[6]

\lim _{x\to +\infty }N(x){\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {14}{27}}\ln(10)\simeq 1{,}1939.

Cette constante est répertoriée comme suite A086705 de l'OEIS.

Par conséquent, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {N(x)}{x}}=0$ : les nombres harshad sont de densité asymptotique nulle.

Nombre harshad dans d'autres bases[modifier | modifier le code]

Un nombre harshad en base b est souvent appelé un nombre b-harshad (notation de Grundman 1994).

En base b comme en base dix, on a :

tous les entiers de 0 jusqu'à b sont des nombres b-harshad ;
aucun nombre premier strictement supérieur à b n'est b-harshad ;
il existe une infinité de suites de 2b nombres b-harshad consécutifs, pour b = 2 et pour b = 3 (ces deux résultats ont été prouvés par T. Tony Cai (en) en 1996).
Il existe une constante $\eta _{b}$ telle que $N_{b}(x)\sim \eta _{b}{\frac {x}{\ln x}}$ ( $\eta _{10}={\frac {14}{27}}\ln(10)$ )^[7].

Nombre complètement harshad[modifier | modifier le code]

Un entier qui est un nombre harshad dans toute base est dit complètement harshad (ou complètement de Niven) ; il existe seulement quatre nombres complètement harshad, 1, 2, 4 et 6.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harshad number » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) D. R. Kaprekar, « Multidigital Numbers », Scripta Mathematica, vol. 21,‎ 1955, p. 27
↑ (en) Richard Mollin, Number Theory : Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988, Waltre de Gruyter, 1990 (présentation en ligne), p=630
↑ Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, 2016, p. 110
↑ (en) Curtis Cooper et Robert E. Kennedy, « On consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 31, n^o 2,‎ 1993, p. 146-151 (zbMATH 0776.11003, lire en ligne).
↑ (en) Helen G. Grundman, « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ 1994, p. 174-175 (lire en ligne).
↑ (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái , « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arithmetica, vol. 106, n^o 3,‎ 2003, 265-275 (DOI 10.4064/aa106-3-5, lire en ligne)
↑ Nicolas Doyon, « Les fascinants nombres de Niven », Thèse de la faculté des sciences et de génie de l'université Laval, Québec,‎ novembre 2006 (lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Harshad number », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

[:0-1] {a et b} (en) D. R. Kaprekar, « Multidigital Numbers », Scripta Mathematica, vol. 21,‎ 1955, p. 27

[2] (en) Richard Mollin, Number Theory : Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988, Waltre de Gruyter, 1990 (présentation en ligne), p=630

[3] Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, 2016, p. 110

[4] (en) Curtis Cooper et Robert E. Kennedy, « On consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 31, n^o 2,‎ 1993, p. 146-151 (zbMATH 0776.11003, lire en ligne).

[5] (en) Helen G. Grundman, « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ 1994, p. 174-175 (lire en ligne).

[6] (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái , « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arithmetica, vol. 106, n^o 3,‎ 2003, 265-275 (DOI 10.4064/aa106-3-5, lire en ligne)

[7] Nicolas Doyon, « Les fascinants nombres de Niven », Thèse de la faculté des sciences et de génie de l'université Laval, Québec,‎ novembre 2006 (lire en ligne)

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-Un '''nombre Harshad''', ou '''nombre de Niven''', ou '''nombre multinumérique''' est un [[nombre entier|entier]] qui est [[diviseur|divisible]] par la [[Somme (arithmétique)|somme]] de ses chiffres dans une [[système de numération|base]] donnée. Le nom de ''Harshad'' leur a été donné par le mathématicien [[Dattatreya Ramachandra Kaprekar]] et signifie en sanscrit ''grande joie''. Le terme Niven est un hommage au mathématicien [[Ivan Niven]] qui a publié un article et présenté une conférence  en [[théorie des nombres]] sur leur sujet en [[1977]]. Tous les nombres compris entre zéro et le nombre de la base sont des nombres Harshad.
+En [[mathématiques récréatives]], un '''nombre harshad''', ou '''nombre de Niven''', est un [[entier naturel]] qui est [[diviseur|divisible]] par la [[Somme (arithmétique)|somme]] de ses chiffres dans une [[système de numération|base]] donnée. En [[Base (numération)|base]] ''b'', tous les nombres de [[zéro|0]] à ''b'' et toutes les [[Puissance d'un nombre#Puissance à exposant entier positif|puissances]] de ''b'' sont des nombres harshad, mais ils suivent ensuite une répartition similaire à celle des nombres premiers.
+== Historique ==
-== Nombre Harshad en base 10 ==
+Ils semblerait que ces nombres aient été considérés pour la première fois par le mathématicien indien  [[Dattatreya Ramachandra Kaprekar|D. R. Kaprekar]] dans un texte de 1955 sous le nom de "multidigital numbers" <ref name=":0">{{Article|langue=en|auteur1=D. R. Kaprekar|titre=Multidigital Numbers|périodique=Scripta Mathematica|volume=21|date=1955|pages=27}}</ref> . L'appellation ''harshad'', qui signifie ''grande joie'' en [[sanskrit]], leur a été donnée par la suite. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien [[Ivan Niven]] qui a publié un article et présenté une conférence en [[théorie des nombres]] sur leur sujet en 1977.
+{{Section à sourcer|date=juillet 2023}}
+.
+== Nombre harshad en [[base dix]] ==
-Les premiers petits nombres Harshad avec plus d'un chiffre en [[décimal|base 10]] sont (suite A005349 dans l'[[encyclopédie électronique des suites entières]]) :
+En base dix, les vingt premiers nombres harshad strictement supérieurs à [[10 (nombre)|10]] sont ({{OEIS|id=A005349}}) :
-: [[10 (nombre)|10]], [[12 (nombre)|12]], [[18 (nombre)|18]], [[20 (nombre)|20]], [[21 (nombre)|21]], [[24 (nombre)|24]], [[27 (nombre)|27]], [[30 (nombre)|30]], [[36 (nombre)|36]], [[40 (nombre)|40]], [[42 (nombre)|42]], [[45 (nombre)|45]], [[48 (nombre)|48]], [[50 (nombre)|50]], [[54 (nombre)|54]], [[60 (nombre)|60]], [[63 (nombre)|63]], [[70 (nombre)|70]], [[72 (nombre)|72]], [[80 (nombre)|80]], [[81 (nombre)|81]], [[84 (nombre)|84]], [[90 (nombre)|90]], [[100 (nombre)|100]], [[102 (nombre)|102]], [[108 (nombre)|108]], [[110 (nombre)|110]], [[111 (nombre)|111]], [[112 (nombre)|112]], [[114 (nombre)|114]], [[117 (nombre)|117]], [[120 (nombre)|120]], [[126 (nombre)|126]], [[132 (nombre)|132]], [[133 (nombre)|133]], [[135 (nombre)|135]], [[140 (nombre)|140]], [[144 (nombre)|144]], [[150 (nombre)|150]], [[152 (nombre)|152]], [[153 (nombre)|153]], [[156 (nombre)|156]], [[162 (nombre)|162]], [[171 (nombre)|171]], [[180 (nombre)|180]], [[190 (nombre)|190]], [[192 (nombre)|192]], [[195 (nombre)|195]], [[198 (nombre)|198]], [[200 (nombre)|200]], [[201 (nombre)|201]], [[204 (nombre)|204]]
+<center>[[12 (nombre)|12]], [[18 (nombre)|18]], [[20 (nombre)|20]], [[21 (nombre)|21]], [[24 (nombre)|24]], [[27 (nombre)|27]], [[30 (nombre)|30]], [[36 (nombre)|36]], [[40 (nombre)|40]], [[42 (nombre)|42]], [[45 (nombre)|45]], [[48 (nombre)|48]], [[50 (nombre)|50]], [[54 (nombre)|54]], [[60 (nombre)|60]], [[63 (nombre)|63]], [[70 (nombre)|70]], [[72 (nombre)|72]], [[80 (nombre)|80]] et [[81 (nombre)|81]].</center>
+Les quotients obtenus se trouvent dans la suite {{OEIS2C|id=A113315}} de l'OEIS.
-=== Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ? ===
+=== Quels nombres peuvent être des nombres harshad ? ===
-En prenant le test de [[divisibilité]] pour le [[9 (nombre)|9]], on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour le but de la détermination du caractère de Harshad pour ''n'', les chiffres de ''n'' ne peuvent seulement être additionnés qu'une fois et ''n'' doit être divisible par cette somme, autrement, il n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, [[99 (nombre)|99]], bien qu'il soit divisible par 9 comme le montre 9 + 9 = 18 et 1 + 8 = 9, n'est pas un nombre de Harshad, puisque 9 + 9 = 18 = 2 × 3<sup>2</sup> et 99 n'est pas divisible par 2.
-Un [[nombre premier]] ''p'' est un nombre Harshad seulement s'il est inférieur à 10. En effet, dans le cas contraire, la somme de ses chiffres donne un nombre strictement plus grand que 1 et strictement plus petit que ''p'' donc un nombre qui ne peut pas diviser ''p''.
+Les multiples de 9 à deux chiffres jusqu'à 90 sont des nombres harshad puisque la somme de leurs chiffres est égale à 9, mais [[99 (nombre)|99]] n'en est pas un, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.
+Aucun nombre premier ''p'' strictement supérieur à 10 n'est harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et ''p'' donc ne peut pas diviser ''p''.
-En base 10, les [[factorielle]]s des nombres entiers inférieurs à 431 sont des nombres Harshad. <math>432!</math> est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad. En voici quelques autres:
-:444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!, ...
+En base dix, les [[factorielle]]s des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad<ref> {{ouvrage|langue=en|auteur=Richard Mollin|titre=Number Theory|sous-titre=Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988|édition=Waltre de Gruyter|année=1990|présentation en ligne=https://books.google.fr/books?id=xZVsDwAAQBAJ}}, p=630</ref>. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.
-=== Nombres Harshad consécutifs ===
+=== Tout entier > 0 est-il la somme des chiffres d'un nombre harshad ? ===
-[[H.G. Grundman]] démontra en [[1994]] qu'en base 10, il n'existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Il trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 10<sup>44363342786</sup>.
+Dans son article<ref name=":0" />, Kaprekar semble admettre cette propriété comme évidente. Elle est en effet exacte, et démontrée par exemple dans<ref>{{Ouvrage|auteur1=Mohammed Aassila|titre=1000 challenges mathématiques, Algèbre|passage=110|éditeur=Ellipses|date=2016}}</ref> en utilisant le [[Théorème d'Euler (arithmétique)|théorème d'Euler]].
+Voici quelques couples <math>(n,h_n)</math> où <math>h_n</math> est le plus petit harshad ayant <math>n</math> pour somme des chiffres :
-=== Estimation de la densité des nombres Harshad ===
+<math>(10,190);(11,209=11\times19);(12,48=12\times 4);(13,247=13\times19);(14,266=14\times19)</math>
-Si nous prenons <math>N(x)\,</math> pour désigner le nombre de nombres Harshad ≤ x, alors pour tout <math>\epsilon > 0\,</math> donné,
+La suite <math>(h_n)</math> est la {{OEIS|A002998}}.
-:<math>x^{1-\varepsilon} << N(x) << \frac{x\log\log x}{\log x}</math>
+=== Nombres harshad consécutifs ===
-comme montré par [[Jean-Marie De Koninck]] et [[Nicolas Doyon]] ; de plus, De Koninck, Doyon et Kátai ont démontré que
+Cooper et Kennedy ont démontré<ref>{{Article|lang=en|auteur=Curtis Cooper|auteur2=Robert E. Kennedy|titre=On consecutive Niven numbers|revue=[[Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quart.]]|vol=31|numéro=2|année=1993|p.=146-151|zbl=0776.11003|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Helen G. Grundman]]|titre=Sequences of consecutive Niven numbers|revue=Fibonacci Quart.|volume=32|année=1994|p.=174-175|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf}}.</ref> qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 10<sup>{{formatnum:44363342786}}</sup>) qui sont tous des nombres harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.
+=== Estimation de la densité des nombres harshad ===
-:<math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}</math>
+Si l'on note <math>N(x)</math> le nombre de nombres harshad inférieurs ou égaux à <math>x</math>, alors<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái |titre=On the counting function for the Niven numbers|périodique=Acta Arithmetica|volume=106|numéro=3|date=2003|doi=10.4064/aa106-3-5|lire en ligne=https://www.impan.pl/download/pdf/aa106-3-5|pages= 265-275}}</ref>
-où ''c'' = 14/27 log 10 ≈ 1,1939.
+<center><math>\lim_{x\to+\infty}N(x)\frac{\ln(x)}x=\frac{14}{27}\ln(10)\simeq 1{,}1939.</math></center>Cette constante est répertoriée comme {{OEIS|A086705}}.
-== Nombre Harshad dans d'autres bases ==
+Par conséquent, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{N(x)}x=0</math> : les nombres harshad sont de [[densité asymptotique]] nulle.
-Un nombre Harshad en base ''b'' est souvent appelé un nombre de ''b''-Harshad (notation de Grundman 1994).
+== Nombre harshad dans d'autres bases ==
-=== Répartition des nombres ''b''-Harshad ===
-Tous les entiers inférieurs ou égaux à ''b'' sont des nombres ''b''-Harshad. Les seuls nombres premiers ''b''-Harshad sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à ''b''.
+Un nombre harshad en base ''b'' est souvent appelé un nombre ''b''-harshad (notation de {{Harvsp|Grundman|1994}}).
-En base 2, il existe une infinité de suites de quatre nombres Harshad consécutifs, alors qu'en [[base 3]], il existe une infinité de suites de six nombres Harshad consécutifs ; ces résultats ont été prouvés tous les deux par [[T. Cai]] en [[1996]].
+En base ''b'' comme en base dix, on a :
-=== Nombre Harshad complet ===
+*tous les entiers de 0 jusqu'à ''b'' sont des nombres ''b''-harshad ;
+*aucun nombre premier strictement supérieur à ''b'' n'est ''b''-harshad ;
+*il existe une infinité de suites de 2''b'' nombres ''b''-harshad consécutifs, pour [[Système binaire|''b'' = 2]] et pour [[Système ternaire|''b'' = 3]] (ces deux résultats ont été prouvés par {{Lien|T. Tony Cai}} en 1996).
+*Il existe une constante <math>\eta_b</math> telle que <math>N_b(x)\sim\eta_b\frac x{\ln x}</math> (<math>\eta_{10}=\frac{14}{27}\ln(10)</math>)<ref>{{Article|auteur1=Nicolas Doyon|titre=Les fascinants nombres de Niven|périodique=Thèse de la faculté des sciences et de génie de l'université Laval, Québec|date=Novembre 2006|lire en ligne=https://www.collectionscanada.gc.ca/obj/s4/f2/dsk3/QQLA/TC-QQLA-24023.pdf}}</ref>.
+== Nombre complètement harshad ==
-Un nombre qui est un nombre Harshad dans une base quelconque est appelé un '''nombre Harshad complet''', ou un '''nombre de Niven complet''' ; il existe seulement quatre nombres Harshad complets, [[1 (nombre)|1]], [[2 (nombre)|2]], [[4 (nombre)|4]] et [[6 (nombre)|6]].
+Un entier qui est un nombre harshad dans toute base est dit complètement harshad (ou complètement de Niven) ; il existe seulement quatre nombres complètement harshad, [[1 (nombre)|1]], [[2 (nombre)|2]], [[4 (nombre)|4]] et [[6 (nombre)|6]].
-=== Questions ouvertes ===
+== Notes et références ==
+{{Traduction/Référence|en|Harshad number|9228930|type=note}}
+<references/>
+== Lien externe ==
-* dans une base ''b'', existe-t-il toujours un nombre Harshad ''a'' tel que tout nombre entier pair supérieur à ''a'' peut s'écrire comme somme de deux nombres Harshad strictement supérieurs à ''b'' ?
+{{MathWorld|nom_url=HarshadNumber|titre=Harshad number}}
+{{Portail|arithmétique}}
-* Tout nombre entier supérieur à 2 peut-il s'écrire comme somme de deux nombres Harshad ?
-== Références ==
-* H. G. Grundmann, ''Sequences of consecutive Niven numbers'', Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
-* Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, ''On the number of Niven numbers up to x'', Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
-* Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, ''On the counting function for the Niven numbers'', Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
-{{portail mathématiques}}
 [[Catégorie:Propriété décimale|Harshad]]
-[[da:Harshad-tal]]
-[[de:Harshad-Zahl]]
-[[en:Harshad number]]
-[[es:Número de Harshad]]
-[[fi:Harshad-luku]]
-[[he:מספר הרשאד]]
-[[hu:Harshad-szám]]
-[[it:Numero di Harshad]]
-[[ja:ハーシャッド数]]
-[[ko:하샤드 수]]
-[[nl:Harshadgetal]]
-[[ru:Числа Харсхада]]
-[[sl:Harshadovo število]]
-[[uk:Числа Харсхада]]
-[[zh:哈沙德數]]