« Inégalité de Boole » : différence entre les versions
syntaxe grammaticale |
|||
(28 versions intermédiaires par 15 utilisateurs non affichées) | |||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
{{ébauche|statistiques}} |
|||
⚫ | En [[théorie des probabilités]], l''''inégalité de Boole''' |
||
⚫ | En [[théorie des probabilités]], l''''inégalité de Boole''' affirme que, pour toute [[famille (mathématiques)|famille]] [[ensemble fini|finie]] ou [[ensemble dénombrable|dénombrable]] d'[[événement (probabilités)|événements]], la probabilité qu'au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{démonstration|* '''Première démonstration.''' |
|||
⚫ | |||
On traite d'abord, [[Raisonnement par récurrence|par récurrence]], le cas d'une famille finie <math>(A_1, \dots, A_m)</math> d'évènements. |
|||
Il s'agit de prouver que <math>\mathbb{P}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_m\right) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m)</math>. |
|||
L'inégalité de Boole peut être généralisée pour [[majorant|majorer]] et [[minorant|minorer]] la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d''''inégalités de Bonferroni'''. |
|||
L'inégalité est vraie au rang <math>m = 1</math>. On la suppose vraie à un rang <math>m</math> et l'on considère une famille <math>(A_1, \dots, A_{m + 1})</math> de <math>m+1</math> évènements. |
|||
Posons : |
|||
⚫ | |||
Soit <math>E = A_1 \cup \cdots \cup A_m</math> : <math>\mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m)</math> (hypothèse de récurrence). |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: |
Alors : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) - \mathbb{P}(E \cap A_{m+1})</math>, |
||
d'où : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m) + \mathbb{P}(A_{m+1})</math>. |
|||
On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable <math>(A_n)_{n \geq 1}</math> d'évènements. |
|||
Pour tout entier strictement positif <math>n</math>, soit <math>E_n = A_1 \cup \cdots \cup A_n</math> ; alors <math>\mathbb{P}(E_n) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)</math>. |
|||
L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur <math>n</math> ; en effet, <math>\bigcup_{n \geq 1} E_n = \bigcup_{n \geq 1} A_n</math> et pour tout <math>n</math>, <math>E_n \subset E_{n+1}</math>, donc <math>\lim \mathbb{P}(E_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n \geq 1} A_n\right)</math>. |
|||
* '''Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).''' |
|||
On pose <math>\ A'_1 = A_1</math> et pour tout <math>n \geq 2</math>, <math>A'_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})</math>. |
|||
Alors <math>\bigcup_{n} A_n = \bigcup_{n} A'_n</math>, et les évènements <math>A'_1, A'_2, \dots</math> sont deux à deux incompatibles ;<br /> |
|||
en outre, pour tout <math>n, A'_n \subset A_n</math>, donc <math>\mathbb{P}(A'_n) \leq \mathbb{P}(A_n)</math> (croissance de <math>\mathbb{P}</math>). |
|||
De tout ceci, il résulte : <math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A'_n\right) = \sum_{n} \mathbb{P}(A'_n) \leq \sum_{n} \mathbb{P}(A_n) </math>.}} |
|||
⚫ | |||
{{Théorème|Conséquence|L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements [[Ensemble négligeable#Le concept de « presque partout »|presque certains]], ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des ''B''<sub>''n''</sub>).}} |
|||
⚫ | |||
Les '''inégalités de Bonferroni''', dues à [[Carlo Emilio Bonferroni]], généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des [[majorant]]s et des [[minorant]]s de la probabilité d'unions finies d'événements. |
|||
{{Théorème|Inégalités de Bonferroni|Posons : |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
::<math>S_k := \sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),</math> |
|||
où la somme est effectuée sur tous les ''k''-[[uplet]]s strictement croissants d'entiers compris entre 1 et ''n''. |
où la somme est effectuée sur tous les ''k''-[[uplet]]s strictement croissants d'entiers compris entre 1 et ''n''. |
||
Alors pour |
Alors pour tout entier impair ''k'' tel que 1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' |
||
::<math>\ |
::<math>\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,</math> |
||
et pour |
et pour tout entier pair ''k'' tel que 2 ≤ ''k'' ≤ ''n'' |
||
::<math>\ |
::<math>\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.</math>}} |
||
On retrouve l'inégalité de Boole pour ''k'' = 1. |
On retrouve l'inégalité de Boole pour ''k'' = 1. |
||
==Références== |
== Références == |
||
Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'[[:en:Boole's inequality|article de Wikipédia en anglais]], lui-même tiré d'[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6049 un article de PlanetMath], disponible sous GFDL. |
Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'[[:en:Boole's inequality|article de Wikipédia en anglais]], lui-même tiré d'[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6049 un article de PlanetMath], disponible sous GFDL. |
||
==Voir aussi== |
== Voir aussi == |
||
* [[Axiomes des probabilités]] |
* [[Axiomes des probabilités]] |
||
* [[Principe d'inclusion-exclusion]] |
* [[Principe d'inclusion-exclusion]] |
||
* [[Carlo Emilio Bonferroni]] |
* [[Carlo Emilio Bonferroni]] |
||
* [[George Boole]] |
* [[George Boole]] |
||
{{portail|statistiques}} |
|||
{{DEFAULTSORT:Inegalite de Boole}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[de:Bonferroni-Ungleichung]] |
|||
[[Catégorie:Inégalité en probabilités|Boole]] |
|||
[[en:Boole's inequality]] |
|||
[[it:Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni]] |
|||
[[km:វិសមភាពប៊ូល]] |
Dernière version du 17 mars 2024 à 14:00
En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité qu'au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,
Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a :
En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).
Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).
Inégalités de Bonferroni[modifier | modifier le code]
Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.
Inégalités de Bonferroni — Posons :
et pour 2 < k ≤ n,
où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.
Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n
et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n
On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.
Références[modifier | modifier le code]
Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.