Théorème des quatre couleurs

Vitrail coloré avec quatre couleurs

Carte du monde colorée à l'aide du théorème des 4 couleurs, y compris les océans. Par conséquent les mers intérieures peuvent ne pas être bleues et les pays enclavés peuvent être bleus, tout comme les exclaves d'un pays peuvent être de couleur différente du pays.

Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorer n'importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions adjacentes (ou limitrophes), c'est-à-dire ayant toute une frontière (et non simplement un point) en commun reçoivent toujours deux couleurs distinctes. L'énoncé peut varier et concerner, de manière tout à fait équivalente, la coloration des faces d'un polyèdre, ou des sommets d'un graphe planaire.

Trivialement, chacune des régions doit recevoir une couleur différente si les régions sont deux à deux adjacentes ; c'est le cas par exemple de la Belgique, du Luxembourg, de l'Allemagne et de la France dans une carte politique de l'Europe, d'où la nécessité des quatre couleurs dans le cas général. Par ailleurs, il ne peut exister cinq régions connexes deux à deux adjacentes (c'est la partie facile du théorème de Kuratowski).

Lorsqu'on généralise le problème à un graphe quelconque, il devient NP-complet de déterminer s'il est coloriable avec seulement quatre couleurs (ou même trois).

Histoire

Le résultat fut conjecturé en 1852 par Francis Guthrie, intéressé par la coloration de la carte des régions d'Angleterre. La première mention publiée date toutefois de 1879. Deux premières démonstrations furent publiées, respectivement par Alfred Kempe en 1879 et Peter Guthrie Tait en 1880. Mais elles se révélèrent erronées ; les erreurs ont été relevées seulement en 1890 par Percy Heawood et en 1891 par Julius Petersen.

Si la preuve de Kempe s'est révélée fausse, elle fournit cependant une démonstration d'un problème analogue, avec cinq couleurs au lieu de quatre, aujourd'hui connu sous le nom du théorème des cinq couleursthéorème des cinq couleurs.

Dans les années 1960 et 1970, Heinrich Heesch s'intéresse à la possibilité de prouver informatiquement le théorème des quatre couleurs. Finalement, en 1976, deux Américains, Kenneth Appel et Wolfgang Haken, affirment avoir démontré le théorème des quatre couleurs. Leur démonstration partage la communauté scientifique : pour la première fois, en effet, la démonstration exige l'usage de l'ordinateur pour étudier les 1478 cas critiques (plus de 1200 heures de calcul). Le problème de la démonstration du théorème se trouve alors déplacé vers le problème de la validation :

• d'une part de l'algorithme d'exploration,
• d'autre part de sa réalisation sous forme de programme.

Depuis 1976, l'algorithme d'Appel et Haken a été repris et simplifié par Robertson, Sanders (en), Seymour et Thomas. D'autres programmes informatiques, écrits de façon indépendante du premier, aboutissent au même résultat. Il existe ainsi une version entièrement formalisée, formulée avec Coq par Georges Gonthier et Benjamin Werner, qui permet à un ordinateur de complètement vérifier le théorème des quatre couleurs.

Paul Erdős suggère que le théorème des quatre couleurs est « un problème subtil et non pas un problème complexe ». D'après lui, une démonstration simple, et même très simple, devrait exister. Mais pour cela, il conviendrait peut-être de « compliquer le problème », en le formulant pour un ensemble de points plus vaste qu'un graphe planaire, et incluant celui-ci.

En 2015, aucune preuve qui ne fasse pas appel à l'ordinateur n'a été découverte ; cependant, de nombreux amateurs continuent à être convaincus de l'avoir démontré, et Underwood Dudley consacre un chapitre de Mathematical Cranks à ces tentatives, dont un exemple, moins absurde que beaucoup d'autres, est celle de George Spencer-BrownGeorge Spencer-Brown, déposée en 1980, mais qui n'a jamais été acceptée.

Généralisations du théorème des quatre couleurs

Classes de graphes plus générales que les graphes planaires

On voit que l'énoncé classique du théorème des quatre couleurs n'est bien sûr pas une caractérisation des graphes dont le nombre chromatique est inférieur ou égale à quatre puisque le graphe $K_{3,3}$ n'est pas planaire mais est biparti. D'autre part, pour des raisons de complexité algorithmique, il ne peut exister de caractérisation simple des graphes k-colorables pour k fixé supérieur ou égal à trois. Le théorème des quatre couleurs se généralise aux graphes sans mineur $K_{5}$, puisque le nombre chromatique de ces graphes vaut au plus quatre (et c'est une des motivations de la conjecture de Hadwiger). Une généralisation plus forte encore a été donnée récemment par Guenin :

• les graphes sans mineur impair $K_{5}$ sont colorables avec seulement quatre couleurs.

(Un mineur est dit impair si les opérations de contractions des arêtes s'effectuent uniquement sur une coupe du graphe. Un graphe contient un mineur impair $K_{5}$ s'il contient un $K_{5}$ dont on a remplacé les dix arêtes par dix chemins de longueur impairs.)

Ces résultats plus forts sont basés sur des preuves utilisant le théorème des quatre couleurs lui-même, par conséquent ils n'en apportent pas de nouvelle démonstration.

Surfaces plus générales que le plan

En collant les bords marqués de flèches doubles pour former un cylindre, puis les bords marqués de flèches simples, on obtient un tore avec sept régions se touchant six à six ; ainsi, sept couleurs sont nécessaires

Résultat du collage précédent.

On peut aussi considérer le problème du coloriage de cartes tracées sur des surfaces autres que le plan. Sur la sphère, le problème est le même (pour le voir, il suffit de retirer un point de la sphère intérieur à l'une des régions, et d'effectuer une projection stéréographique). Pour des surfaces fermées de genre positif, le nombre de couleurs nécessaires dans le pire des cas, p, dépend de la caractéristique d'Euler de la surface, χ, selon la formule

$p=\left\lfloor {\frac {7+{\sqrt {49-24\chi }}}{2}}\right\rfloor ,$

où les crochets extérieurs désignent la fonction partie entière.

Pour une surface orientable de genre g, cela revient à

$p=\left\lfloor {\frac {7+{\sqrt {1+48g}}}{2}}\right\rfloor \quad$.

Cette formule fut conjecturée par Heawood en 1890 et prouvée par Ringel et YoungsJohn William Theodore Youngs en 1968. On remarquera que pour g=0, elle redonne le théorème des quatre couleurs, mais bien sûr, les preuves précédentes ne s'appliquent qu'au cas où g>0.

Par exemple, le tore a une caractéristique d'Euler χ = 0 (et est de genre g = 1 : un tore n'a qu'un "trou") et donc p = 7 ; 7 couleurs suffisent donc pour colorer n'importe quelle carte sur le tore, et l'exemple de la figure montre que cela peut être nécessaire ; des exemples analogues permettent de montrer que la valeur de la conjecture de Heawood est la plus petite possible.

Il n'y a pas de généralisation dans l'espace car tous les graphes, et en particulier le graphe complet, sont plongeables dans l'espace 3D, en d'autres termes, en utilisant n tiges flexibles, il est possible de les arranger pour que chacune touche toutes les autres, et donc n peut être choisi aussi grand qu'on veut, sans qu'apparaisse un "théorème des n couleurs".

Conséquences

Algorithmiques

Déterminer si un graphe peut être ou non coloré en deux couleurs est très facile : techniquement, il suffit de colorer arbitrairement un sommet de chaque composante connexe avec une couleur et ensuite de propager cette décision en colorant les sommets voisins avec l'autre couleur et ainsi de suite. Si l'on rencontre un sommet encore non coloré voisins de deux sommets de couleur différentes alors le graphe ne peut être biparti. C'est un problème soluble en temps polynomial.
En revanche, déterminer si un graphe peut être ou non coloré en k couleurs pour k>2 est un problème NP-complet. La preuve de Appel et Haken donne un algorithme pour colorer tout graphe planaire avec quatre couleurs en temps quadratique (la 3-coloration des graphes planaires étant NP-complet).

Pratiques

D’autres problèmes plus pratiques peuvent se réduire à la résolution de coloration de graphe, la solution peut alors être appliquée pour améliorer l'organisation de tâches.

• Affecter des fréquences différentes à des cellules voisines dans un réseau de téléphone mobile GSM.
• Organiser un examen suivant les matières que doit passer chaque étudiant. Comment mettre en parallèle plusieurs épreuves sans léser un candidat ?
• Optimiser l'utilisation des machines de travail. Comment mettre en parallèle des fabrications utilisant plusieurs machines ?
• Problème d'incompatibilité. Comment faire cohabiter des personnes ou des animaux en tenant compte de leur incompatibilité ?
• La résolution du Sudoku peut se ramener à un problème de coloration de graphe.

Cas du coloriage de cartes

S'agissant du coloriage des cartes elles-mêmes, le théorème a en fait un intérêt limité. Par exemple, si on souhaite dessiner une carte du monde en attribuant des couleurs différentes aux pays limitrophes :

• D'une part, on sera gêné par la présence de la mer. Soit il faut lui attribuer une couleur comme si c'était un pays — mais ce serait trompeur — soit il faut lui réserver une couleur supplémentaire.
• D'autre part, le théorème parle bien de régions connexes. L'oblast de Kaliningrad suffit à montrer que ce n'est pas forcément le cas des pays.

Bibliographie

• Georges Gonthier (enseignant à Polytechnique), Le théorème des quatre couleurs (lire en ligne)