Pentagone

Pentagone régulier
Type	Polygone régulier
Symbole de Schläfli	{5}
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Groupe de symétrie	Diédral (D5)
Angle interne	108°
Propriétés	constructible

Pentagramme inscrit dans un pentagone régulier.

Pentagone obtenu en faisant un nœud avec une feuille rectangulaire.

Un pentagone (du grec pentagon = cinq angles) est un polygone à cinq sommets et cinq côtés.

Pentagone régulier

Un pentagone régulier convexe est un pentagone dont tous les côtés sont de même longueur et dont tous les angles internes ont pour mesure 108°, d'après la formule générale sur les angles dans un polygone régulier.

L'aire d'un pentagone régulier convexe de côté a vaut ${\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {15+20\varphi }}\simeq 1{,}72048~a^{2}.$

Si l'on trace les diagonales d'un pentagone régulier convexe, on obtient un pentagone régulier non simple, le pentagramme. Le pentagone est très lié au nombre d'or. En effet, dans la figure ci-contre, on peut déceler de nombreux triangles d'or obtus (comme ceux formés par deux côtés et une diagonale) ou aigus (comme ceux formés par deux diagonales et un côté). Le découpage fait aussi apparaître de nouveaux triangles d'or dont la taille a été divisée par φ ainsi qu'un nouveau pentagone dont la taille est divisée par φ².

Le côté d'un pentagone convexe inscrit dans un cercle de rayon r a pour longueur ${\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}r\simeq 1{,}17557050458~r.$

Construction

Il est possible de construire un pentagone régulier à la règle et au compas.

Une méthode par pliage simple permet de faire un pentagone. Il suffit de prendre une bande de papier suffisamment longue et faire une boucle, puis de passer un bout dans la boucle et enfin serrer en ajustant.

Voir aussi

Livre IV des Éléments d'Euclide