« Polynômes orthogonaux multiples » : différence entre les versions
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== Polynômes orthogonaux multiples == |
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Soit <math>\vec{n}=(n_1,\dots,n_r)\in \mathbb{N}^r</math> un [[multi-indice]] et <math>\mu_1,\dots,\mu_r </math> sont |
Soit <math>\vec{n}=(n_1,\dots,n_r)\in \mathbb{N}^r</math> un [[multi-indice]] et <math>\mu_1,\dots,\mu_r </math> sont |
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measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, <math>|\vec{n}|:=n_1+n_2+\cdots + n_r</math>. |
measures positives aux [[Nombre réel|nombres réels]]. Comme d'habitude, <math>|\vec{n}|:=n_1+n_2+\cdots + n_r</math>. |
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=== POM de type 1 === |
=== POM de type 1 === |
Version du 6 juillet 2023 à 14:10
Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures . Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.
Dans la littérature, il existe de nombreux autres noms pour les polynômes orthogonaux multiples, ils sont également appelés -polynômes orthogonaux, polynômes des Hermite-Padé ou polynômes polyorthogonaux[1].
Polynômes orthogonaux multiples
Soit un multi-indice et sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, .
POM de type 1
Les polynômes de type 1 sont notés comme pour et écrits comme a vecteur , où le ème polynôme peut être au plus de degré . De plus, ils doivent vérifier :
et
On a donc un système d'équations pour les coefficients des polynômes défini.
POM de type 2
Un polynôme est de type 2 s'il est monique et de degré et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :
Remarques
Si nous écrivons toutes les équations , nous obtenons la définition suivante du POM de type 2
Bibliographie
- (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982), chap. 23.
- (en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, , p. 1029-1031.
- (en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.
Références
- (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982).