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Version du 17 mai 2024 à 11:15
En physique mathématique, le étoile-produit[1] est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.
L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.
Définitions
Déformation formelle
Soit un anneau commutatif et une algèbre sur un anneau. Soit l'anneau des séries formelles et l'algèbre des séries formelles sur avec les coefficients dans .
La déformation formelle de l'opérateur de multiplication de l'algèbre est une application -bilinéaire[2]
tel que pour tout
et est la multiplication des séries formelles :
Étoile-produit
Soit une variété de Poisson, où est un tenseur de Poisson.
Le étoile-produit est une déformation formelle sur , c'est-à-dire une multiplication -bilinéaire[3]
de la forme
et sont des applications -bilinéaire
vérifiant les axiomes:
- est associative: pour tout .
- .
- (où est le crochet de Poisson).
- pour tout .
Propriétés
Si les sont des opérateurs bidifférentiels, est appelé un étoile-produit différentiel.
Si les sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre est dans chaque argument, est appelé un étoile-produit naturel.
On appelle un du type Weyl, si et est hermitien, c'est-à-dire (avec la convention ).
Exemple
- Le produit de Moyal (en) défini comme
- pour est un étoile-produit sur avec une forme symplectique canonique et la constante de Planck .
Existence
Sur les variétés symplectiques
De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un étoile-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique[4].
Sur les variétés de Poisson
Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de étoile-produit différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires[5].
Littérature
- (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
- (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
Références
- Joseph Oesterlé, « Quantification formelle des variétés de Poisson », Astérisque, vol. 252, no 843, , p. 211-229 (lire en ligne)
- (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
- (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
- (en) Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 7, no 6, (DOI 10.1007/BF00402248)
- (en) Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 66, no 3, (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arXiv q-alg/9709040v1)