Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour tout ensemble fini ou dénombrable d'événement, la probabilité de l'un au moins des événements est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément.

Formellement, pour un ensemble dénombrable d'événements A₁, A₂, A₃, ..., on a :

$\mathrm {P} \left[\bigcup _{i}A_{i}\right]\leq \sum _{i}\mathrm {P} \left[A_{i}\right].$

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole vient du fait qu'une mesure (et certainement toute mesure de probabilité) est σ-sous-additive.

Inégalités de Bonferroni

L'inégalité de Boole peut être généralisée pour trouver des bornes supérieure et inférieure de la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d'ingalités de Bonferroni.

Posons :

$S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {P} (A_{i}),$

$S_{2}:=\sum _{i<j}\mathrm {P} (A_{i}\cap A_{j}),$

et pour 2 < k ≤ n,

$S_{k}:=\sum \mathrm {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),$

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets d'entiers distincts.

Alors pour un entier impair k ≥ 1,

$\mathrm {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},$

et pour un entier pair k ≥ 2,

$\mathrm {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.$

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

• Axiomes des probabilités
• Principe d'inclusion-exclusion de Moivre
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole