Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A₁, A₂, A₃, ..., on a :

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} \left(A_{i}\right).$

Démonstration

On traite d'abord, par récurrence sur $n$, le cas d'une famille finie $(A_{1},\dots ,A_{n})$ d'évènements.

Il s'agit de prouver que $\mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{n})$.

L'inégalité est vraie au rang $n=1$. On la suppose vraie à un rang $n$ et l'on considère une famille $(A_{1},\dots ,A_{n+1})$ de $n+1$ évènements.

Soit $E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ : $\mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{n})$ (hypothèse de récurrence).

Alors : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{n+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{n+1})$,

d'où : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{n+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{n})+\mathbb {P} (A_{n+1})$.

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable $(A_{k})_{k\geq 1}$ d'évènements.

Pour tout entier strictement positif $n$, soit $E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ ; alors $\mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})$.

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur $n$; en effet $\bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}$ et pour tout $n$, $E_{n}\subset E_{n+1}$, donc $\lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)$.

Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).
On pose $\ A'_{1}=A_{1}$ et pour tout $n\geq 2$, $A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})$.

Alors $\bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}$, et les évènements $A'_{1},A'_{2},\dots$ sont deux à deux incompatibles ;
en outre, pour tout $n,A'_{n}\subset A_{n}$, donc $\mathbb {P} (A_{n})\leq \mathbb {P} (A'_{n})$ (croissance de $\mathbb {P}$).

De tout ceci, il résulte : $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$.

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B₁, B₂, B₃, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des B_i).

Inégalités de Bonferroni

L'inégalité de Boole peut être généralisée pour majorer et minorer la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d'inégalités de Bonferroni.

Posons :

$S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),$

$S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),$

et pour 2 < k ≤ n,

$S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),$

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour un entier impair k ≥ 1,

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},$

et pour un entier pair k ≥ 2,

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.$

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

• Axiomes des probabilités
• Principe d'inclusion-exclusion
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole