« Inégalité de Boole » : différence entre les versions
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m essai —quelque peu futile— d'harmoniser les notations (indices muets et autres) |
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{{Théorème|Inégalité de Boole|Pour une famille au plus dénombrable d'événements ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ..., on a : |
{{Théorème|Inégalité de Boole|Pour une famille au plus dénombrable d'événements ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ..., on a : |
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:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{ |
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}\left(A_n\right).</math>}} |
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{{démonstration|On traite d'abord, par récurrence |
{{démonstration|On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie <math>(A_1, \dots, A_m)</math> d'évènements. |
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Il s'agit de prouver que <math>\mathbb{P}\left(A_1 \cup \cdots \cup |
Il s'agit de prouver que <math>\mathbb{P}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_m\right) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m)</math>. |
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L'inégalité est vraie au rang <math> |
L'inégalité est vraie au rang <math>m = 1</math>. On la suppose vraie à un rang <math>m</math> et l'on considère une famille <math>(A_1, \dots, A_{m + 1})</math> de <math>m+1</math> évènements. |
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Soit <math>E = A_1 \cup \cdots \cup |
Soit <math>E = A_1 \cup \cdots \cup A_m</math> : <math>\mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m)</math> (hypothèse de récurrence). |
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Alors : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{ |
Alors : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) - \mathbb{P}(E \cap A_{m+1})</math>, |
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d'où : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{ |
d'où : <math>\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m) + \mathbb{P}(A_{m+1})</math>. |
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On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable <math>( |
On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable <math>(A_n)_{n \geq 1}</math> d'évènements. |
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Pour tout entier strictement positif <math>n</math>, soit <math>E_n = A_1 \cup \cdots \cup A_n</math> ; alors <math>\mathbb{P}(E_n) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)</math>. |
Pour tout entier strictement positif <math>n</math>, soit <math>E_n = A_1 \cup \cdots \cup A_n</math> ; alors <math>\mathbb{P}(E_n) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)</math>. |
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L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur <math>n</math>; en effet <math>\bigcup_{n \geq 1} E_n = \bigcup_{n \geq 1} A_n</math> et pour tout <math>n</math>, <math>E_n \subset E_{n+1}</math>, donc <math>\lim \mathbb{P}(E_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n \geq 1} A_n\right)</math>. |
L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur <math>n</math> ; en effet <math>\bigcup_{n \geq 1} E_n = \bigcup_{n \geq 1} A_n</math> et pour tout <math>n</math>, <math>E_n \subset E_{n+1}</math>, donc <math>\lim \mathbb{P}(E_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n \geq 1} A_n\right)</math>. |
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Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).<br> |
Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).<br> |
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En termes de la [[théorie de la mesure]], l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une [[Espace probabilisé|mesure de probabilité]] est ''σ''-sous-additive (comme toute mesure). |
En termes de la [[théorie de la mesure]], l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une [[Espace probabilisé|mesure de probabilité]] est ''σ''-sous-additive (comme toute mesure). |
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{{Théorème|Conséquence|L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des ''B''<sub> |
{{Théorème|Conséquence|L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des ''B''<sub>''n''</sub>).}} |
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==Inégalités de Bonferroni== |
==Inégalités de Bonferroni== |
Version du 8 février 2009 à 20:14
En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,
Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, ..., on a :
En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).
Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).
Inégalités de Bonferroni
L'inégalité de Boole peut être généralisée pour majorer et minorer la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d'inégalités de Bonferroni.
Posons :
et pour 2 < k ≤ n,
où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.
Alors pour un entier impair k ≥ 1,
et pour un entier pair k ≥ 2,
On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.
Références
Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.