Projection de Mercator

Planisphère du monde selon la projection de Mercator.

La projection de Mercator est cylindrique.

La projection de Mercator avec les indicatrices de déformation de Tissot.

Projection de Mercator du monde (bandes de 20°) centrée sur 0°E, 0°N.

La projection de Mercator de 1569.

La projection de Mercator est une projection cylindrique tangente à l'équateur du globe terrestre sur une carte plane formalisée par Gerardus Mercator en 1569.

Le principe de représentation sur un canevas orthogonal avait été esquissé par Dicéarque, Strabon et utilisé par Marinos de Tyr. Il était également connu des Chinois au X^e siècle ap. J-C.

La projection de Mercator est une projection conforme, c’est-à-dire qu'elle conserve les angles (plus précisément les angles conformes). L'inévitable étirement Est-Ouest en dehors de l'équateur est accompagné par un étirement Nord-Sud correspondant, de telle sorte que l'échelle Est-Ouest est partout égale à l'échelle Nord-Sud. Une carte de Mercator ne peut couvrir les pôles : ils seraient infiniment hauts. La projection de Mercator entraine donc des déformations sur les distances.

Propriétés

Intérêt pour la navigation

La plupart des cartes marines utilisent la projection de Mercator. La projection conforme conserve les angles (ce qui permet de reporter directement sur la carte les angles mesurés au compas, et vice-versa) mais pas les distances (l'échelle de la carte variant avec la latitude) ni les surfaces (contrairement aux projections équivalentes). Toute ligne droite sur une carte de Mercator est une ligne d'azimut constant, c'est-à-dire une loxodromie. Ceci la rend particulièrement utile aux marins, même si le trajet ainsi défini n'est généralement pas sur un grand cercle et n'est donc pas le chemin le plus court.

Déformations

Les cartes traditionnelles inspirées des travaux de Mercator destinés à la navigation ont pour principal défaut de donner une idée erronée des surfaces occupées par les différentes régions du monde, et donc des rapports entre les peuples. Ainsi :

• L’Amérique du Sud semble plus petite que le Groenland ; en réalité, elle est neuf fois plus grande : 17,8 millions de kilomètres carrés contre 2,1 millions.
• L’Inde (3,3 millions de kilomètres carrés) semble de taille identique à la Scandinavie (1,1 million de kilomètres carrés).
• L’Europe (9,7 millions de kilomètres carrés) semble plus étendue que l’Amérique du Sud, pourtant près de deux fois plus grande (17,8 millions de kilomètres carrés).
• La Russie (17 millions de kilomètres carrés) semble beaucoup plus étendue que l'Afrique (30 millions de kilomètres carrés).
• L'Alaska apparaît aussi grand que le Brésil qui est pourtant 5 fois plus étendu.
• L'Antarctique apparaît comme le plus grand continent, alors qu'il n'est en réalité que le cinquième par sa superficie.

Pour pallier ces déformations, Arno Peters proposa une projection cylindrique (comme celle de Mercator) qui préserve les superficies relatives : la projection de Peters. Elle perd en revanche le caractère conforme, c'est-à-dire qu'elle ne préserve pas les angles et donc la forme des continents.

Formules

Les équations suivantes déterminent les coordonnées x et y d'un point sur une carte de Mercator à partir de sa latitude φ et de sa longitude λ (avec λ₀ au centre de la carte)

${\begin{matrix}x&=&\lambda -\lambda _{0}\\y&=&\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]\\\ &=&{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right)\\\ &=&\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)\\\ &=&\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)\\\ &=&\ln \left(\tan \varphi +\sec \varphi \right)\end{matrix}}$

Cette dernière fonction est appelée fonction de Gudermann inverse  :

${\begin{matrix}\varphi &=&2\tan ^{-1}\left(e^{y}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\ &=&\tan ^{-1}\left(\sinh y\right)\\\lambda &=&{\frac {x}{R}}+\lambda _{0}\end{matrix}}$

Exemple d'application

Soit la carte illustrant cet article (ayant une hauteur h = 724 et une largeur w = 679 (en pixels). La carte est centrée sur latitude 0, longitude 0. Le pixel 0,0 est en haut à gauche.

Pour obtenir la position du pixel horizontal représentant la longitude λ (en degrés), il suffit d'appliquer la formule donnée précédemment :

pixel_x = w*((λ+180) / 360).

Pour obtenir la position du pixel vertical de la latitude φ (en degrés) :

pixel_y = h / 2-LN(TAN( (pi / 4) + RADIANS(φ) / 2))*ratio

avec ratio = w / (pi*2) = 108

Calcul

Puisqu'on utilise une projection cylindrique, x ne dépend que de λ et y ne dépend que de φ. L'échelle Nord-Sud (en φ) doit être partout égale à l'échelle Est-Ouest (en λ), mais un degré de longitude ne fait pas la même taille aux pôles qu'à l'équateur. Le rapport des dérivées doit donc être égal au rapport de la longueur du parallèle par rapport à la longueur du méridien.

$\forall \varphi ,\lambda \ :{\frac {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}={\frac {2\pi R\cos(\varphi )}{2\pi R}}$

Et puisque l'on choisit ${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$
On trouve

${\frac {\partial y}{\partial \varphi }}={\frac {1}{\cos(\varphi )}}={\frac {1}{\sin({\frac {\pi }{2}}+\varphi )}}={\frac {1}{2\sin({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})\cos({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})^{2}}}}{\tan({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})}}={\frac {\frac {\partial (\tan({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})}{\partial \varphi }}{\tan({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})}}$

puis en intégrant $y=\ln \left(\tan({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})\right)$ ; cette fonction est connue sous le nom de fonction de Gudermann (inverse).

Bibliographie

• (fr) "Quelques Problèmes Mathématiques liés à la Navigation"
• (fr) "Logiciel de calcul de distances (loxodromiques et orthodromiques) et de caps"

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mercator projection » (voir la liste des auteurs).