Plan (mathématiques)

Un plan dans un espace euclidien à trois dimensions.

En [[]], un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement, il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini. L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Définitions

Définitions axiomatiques

En géométrie classique, la définition d'un plan est axiomatique et vise à idéaliser les représentations physiques de surfaces planes (table, tableau, feuille...). On trouve une définition axiomatique du plan chez Euclide, vers 300 ans avant Jésus-Christ, qui définit une surface comme « ce qui a longueur et largeur seulement » et précise alors dans sa définition 7:

Une superficie plane est celle qui est également placée entre ses lignes droites.

Plusieurs siècles plus tard, Denis Henrion, dans sa traduction et commentaires des Éléments, tente d'expliciter le sens de «également placée entre ses lignes droites» indiquant que c'est une surface dont toutes les parties du milieu ne sont plus élevées ni abaissée que les extrêmes, que c'est la surface la plus courte parmi celles ayant mêmes extrêmes, que les parties du milieu y ombrage les parties extrêmes. Il explique que, si par un point quelconque d'une surface , on peut faire tourner une droite en restant dans la surface, alors cette surface est plane.

Cette même idée transparait dans la définition d'Adrien-Marie Legendre dans ses Éléments de Géométrie (1790):

Une surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur ni épaisseur. Le plan est une surface, dans laquelle, prenant deux points à volonté et joignant ces deux points par une ligne droite, cette ligne est entièrement dans la surface.

ou bien dans cette définition de La Petite encyclopédie des mathématiques (1980):

L'ensemble des droites issues d'un point A et coupant une droite d ne passant pas par A, ou parallèles à d forme un plan.

À la fin du XIX^e siècle, après la découverte des géométries non euclidiennes, un mouvement se dessine pour axiomatiser encore davantage la géométrie en cherchant à la vider de son contenu ontologique. David Hilbert, dans son Grundlagen der Geometrie (Base de la géométrie), définit points, droites et plans de l'espace par les relations qui les unissent (les axiomes d'incidences):

Sur tout plan est situé au moins un point. Soient 3 points non alignés, il existe un et un seul plan contenant ces trois points. Si deux points (distincts) d'une droite sont situés dans un plan, la droite entière est située dans le plan. Si deux plans ont un point en commun, alors ils possèdent un autre point en commun. Il existe au moins 4 points non situés dans un même plan.

Cette nouvelle forme d'axiomatique permet la création de plans très éloignés de la représentation physique traditionnelle et où les droites ont des comportements inattendus ( plans projectifs infinis ou finis comme le plan de Fano, plan de Moulton...).

Définitions en algèbre linéaire

Le développement de l'algèbre linéaire permet une définition du plan (affine ou vectoriel), à l'aide du concept d'espace vectoriel et de dimension

Un plan (vectoriel ou affine) est un $K$-espace vectoriel ou un $K$-espace affine de dimension deux, où $K$ désigne un corps commutatif.

Le cas le plus fréquent correspond à celui où le corps $K$ est celui des nombres réels. Ainsi le plan complexe désigne le corps des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel de dimension deux sur le corps des réels.

Un cas important est celui où un plan désigne un sous-espace affine de dimension deux dans un espace de dimension trois sur le corps des réels. Cette situation modélise simplement notre géométrie.

Il existe alors de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

• le plus petit espace affine contenant trois points non alignés ;
• le plus petit espace affine contenant une droite et un point n'appartenant pas à cette droite ;
• le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et sécantes ;
• le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et parallèles ;
• le plus petit espace affine contenant un point et dont la direction est engendrée par deux vecteurs non colinéaires ;
• le plus petit espace affine contenant un point et orthogonal à un vecteur non nul, le vecteur normal.

La dernière de ces définitions diffère des précédentes : d'une part elle utilise non seulement la structure affine de $\mathbb {R} ^{3}$ mais sa structure euclidienne (l'orthogonalité étant définie à partir du produit scalaire canonique), d'autre part son analogue dans $\mathbb {R} ^{n}$, pour n>3, définit non plus un plan mais un hyperplan. Quant à l'avant-dernière définition, ce n'est qu'une reformulation de la première : un sous-espace affine contient trois points A, B, C (non alignés) si et seulement s'il contient A et sa direction contient les vecteurs (non colinéaires) ${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}.$

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

Positions relatives de deux plans

Dans un espace de dimension trois, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

• parallèles : strictement (leur intersection est vide) ou bien confondus ;
• sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (leurs vecteurs « normaux » sont orthogonaux)

Positions relatives d'un plan et d'une droite

Étant donnés (D) une droite et un plan (P), les différentes positions relatives sont :

• (D) est incluse dans (P) ;
• l'intersection de (D) et de (P) est réduite à un point ;
• (D) et (P) sont disjoints.

Dans un espace de dimension trois, (D) est parallèle à (P) si et seulement si (D) est incluse dans (P) ou disjointe de (P).

Équations dans un espace de dimension 3

Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point $A(a_{1};a_{2};a_{3})$ par lequel passe le plan $\Pi ~$ et ${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}$ et ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}$ les vecteurs non colinéaires qui définissent son orientation.

Équations paramétriques

Le plan $\Pi ~$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ pour lesquels il existe deux scalaires $\lambda$ et $\mu$ tels que :

${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OA}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}$ (équation vectorielle)

ou

${\begin{cases}x=a_{1}+\lambda u_{1}+\mu v_{1}\\y=a_{2}+\lambda u_{2}+\mu v_{2}\\z=a_{3}+\lambda u_{3}+\mu v_{3}\end{cases}}\quad {\text{avec }}(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$ (équations paramétriques)

Équation cartésienne

Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque du plan et ${\overrightarrow {AM}}={\begin{bmatrix}x-a_{1}\\y-a_{2}\\z-a_{3}\end{bmatrix}}$ le vecteur défini par le bipoint $(A;M)$.

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

$0=[{\vec {u}},{\vec {v}},{\overrightarrow {AM}}]=[{\vec {u}},{\vec {v}},{\overrightarrow {OM}}]-[{\vec {u}},{\vec {v}},{\overrightarrow {OA}}]$, avec

$[{\vec {u}},{\vec {v}},{\overrightarrow {OM}}]={\begin{vmatrix}u_{1}&&v_{1}&&x\\u_{2}&&v_{2}&&y\\u_{3}&&v_{3}&&z\end{vmatrix}}=\underbrace {(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})} _{a}x+\underbrace {(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})} _{b}y+\underbrace {(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})} _{c}z$, et de même,

$-[{\vec {u}},{\vec {v}},{\overrightarrow {OA}}]=\underbrace {-(aa_{1}+ba_{2}+ca_{3})} _{d}.$

On distingue 4 facteurs que nous appellerons $a,b,c,d~$. Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

$ax+by+cz+d=0~$

Dans le cadre euclidien, nous remarquons en outre que les nombres $a$,$b$ et $c$ sont les composantes du vecteur ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$, le résultat du produit vectoriel des deux vecteurs. D'après la propriété $\left[{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\right]=({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\,$, il s'agit d'un vecteur normal au plan :

${\vec {n}}={\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.$

Définition par un vecteur normal et un point

Le plan passant par $A(a_{1};a_{2};a_{3})~$, de vecteur normal ${\vec {n}}(n_{1};n_{2};n_{3})$, est l'ensemble $\Pi$ des points $M(x;y;z)~$ pour lesquels le vecteur les reliant au point $A$ est orthogonal au vecteur normal, autrement dit pour lesquels le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {AM}}=0.$

En utilisant les égalités

${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {AM}}={\vec {n}}\cdot ({\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OA}})={\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {OM}}-{\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {OA}},$

cette définition équivaut à l'équation cartésienne :

$n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z-(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+n_{3}a_{3})=0.~$

On identifie généralement le quadruplet $(n_{1};n_{2};n_{3};-{\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {OA}})$ aux lettres $(a;b;c;d)$ et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :

$ax+by+cz+d=0.~$

Géométrie vectorielle

Un plan est un sous-espace de dimension 2 d'un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb {K}$. On parle aussi dans ce cas d'un plan vectoriel.

Un plan est toujours engendré par deux vecteurs $v$ et $w$ non colinéaires. De la sorte, $x$ est un vecteur du plan si et seulement s'il est combinaison linéaire de $v$ et $w$, à coefficients dans $\mathbb {K}$. Si $V$ est de dimension finie $n$, on peut aussi définir un plan par $n-2$ formes linéaires indépendantes s'annulant sur tous les vecteurs du plan. Il est particulièrement intéressant de disposer de cette dernière caractérisation, si on veut, par exemple, déterminer les points d'intersection du plan et d'un autre objet, par exemple une courbe ou une surface.

Approche analytique en dimension 3

Dans le cas où l'espace $V$ est de dimension 3, il suffit d'une seule forme linéaire pour définir un plan. Connaissant deux vecteurs $v$ et $w$ qui l'engendrent, de coordonnées

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}},$

il est utile de savoir fabriquer une forme linéaire donnant l'équation du plan. Le produit mixte de $v$, $w$ et $z$ est nul si et seulement si $z$ appartient au plan engendré par $v$ et $w$. Ce produit mixte s'écrit

$[v,w,z]=(v\times w)\cdot z=z_{1}(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})+z_{2}(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})+z_{3}(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}).$

On a ainsi obtenu la forme linéaire désirée.

Réciproquement, si on possède une forme linéaire $z\mapsto a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+a_{3}z_{3}$ définissant un plan, on peut trouver aisément deux vecteurs engendrant ce plan à partir de la forme linéaire. Il existe forcément un coefficient non nul parmi $a_{1},a_{2}$ et $a_{3}$. Disons que ce coefficient est $a_{2}$. On peut alors réécrire l'équation du plan sous la forme

$z_{2}=-(a_{1}z_{1}+a_{3}z_{3})/a_{2}.$

Alors en substituant au couple $(z_{1},z_{3})$ les couples indépendants $(1,0)$ et $(0,1)$, on obtient deux vecteurs

${\begin{pmatrix}1\\-a_{1}/a_{2}\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad {\begin{pmatrix}0\\-a_{3}/a_{2}\\1\end{pmatrix}},$

qui sont forcément indépendants puisque leurs projections respectives sur le plan des $z_{1},z_{3}$ par rapport à l'axe des $z_{2}$ sont des vecteurs indépendants.

Généralisation en dimension plus élevée

Supposons qu'on ait dans un espace de dimension $n$ deux vecteurs $v$ et $w$ indépendants. Comment trouver $n-2$ formes linéaires indépendantes donnant les équations du plan? Cela revient à chercher une base de solutions du système linéaire

${\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{n}v_{i}x_{i}=0,\\&\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}=0.\end{aligned}}$

Pour ce faire, on sélectionne deux indices $p$ et $q$ tels que les couples $(v_{p},v_{q})$ et $(w_{p},w_{q})$ soient linéairement indépendants. Géométriquement, cela revient à sélectionner un plan de coordonnées tel que les projections respectives de $v$ et $w$ sur ce plan, parallèlement au sous-espaces$\{z:z_{p}=z_{q}=0\}$ soient indépendantes. Un tel plan existe toujours parce que $v$ et $w$ sont indépendants. Une fois ceci fait, on réécrit le système précédent sous la forme

${\begin{aligned}v_{p}x_{p}+v_{q}x_{q}&=-\sum _{i\neq p,q}v_{i}x_{i},\\w_{p}x_{p}+w_{q}x_{q}&=-\sum _{i\neq p,q}w_{i}x_{i}.\end{aligned}}$

La solution de ce système linéaire est obtenue par les méthodes classiques. Pour obtenir une base de l'espace des solutions, il suffira de substituer à la suite à $n-2$ éléments $(x_{i})_{i\neq p,q}$ les éléments de la base canonique de l'espace vectoriel $\mathbb {K} ^{n-2}$, c'est-à-dire

$(1,0,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),(0,0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,0,\dots ,1)$.

Réciproquement, étant données $n-2$ formes linéaires indépendantes $\ell _{j}$, on trouve deux vecteurs indépendants dans le plan défini comme ensemble des points où s'annulent ces formes linéaires, en trouvant une base de l'ensemble des solutions du système $\ell _{1}(z)=0,\ell _{2}(z)=0,\dots ,\ell _{n-2}(z)=0.$ En pratique, la meilleure manière de procéder est de mettre la matrice $L$ du système sous forme échelonnée, moyennant d'éventuelles permutations sur les colonnes. Comme $M$ est de rang $n-2$, cet algorithme fournira $n-2$ variables par rapport auxquelles on résoudra, et deux variables indépendantes à mettre dans le second membre. La résolution est alors rapide. Il faut absolument éviter les formules de Cramer pour détecter les indices des variables par rapport auxquelles on résout : il faudrait calculer $n(n-1)/2$ déterminants $(n-2)\times (n-2)$, pour un nombre total d'opérations de l'ordre de $n^{4}$, si on calcule les déterminants par algorithme de Gauss-Jordan, alors que le passage sous forme échelon permet de conclure pour un nombre d'opérations de l'ordre de $n^{3}$.

Voir aussi

Articles connexes

• Propriétés métriques des droites et plans
• Hyperplan
• Espace vectoriel

Liens externes

• A. Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881 (sur Gallica) : La ligne droite, le plan, les polyèdres
• Résolution des difficultés d'arithmétique et de géométrie planaire (Manuscrit arabe, XV^e siècle)