Nombre harshad

En mathématiques récréatives, un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie en sanskrit grande joie. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. En base b, tous les nombres compris strictement entre zéro et b sont des nombres Harshad (car divisibles par eux-mêmes) et toutes les puissances de b aussi (car divisibles par 1).

Nombre Harshad en base dix

Les trente premiers nombres Harshad avec plus d'un chiffre en base dix sont (suite A005349 de l'OEIS) :

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112.

Les quotients obtenus se trouvent dans la suite A113315 de l'OEIS.

Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ?

En prenant le test de divisibilité pour le nombre 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour déterminer si n est Harshad, les chiffres de n ne peuvent être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme ; sinon, ce n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, n'est pas un nombre de Harshad, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Un nombre premier p est un nombre Harshad seulement s'il est inférieur à 10. En effet, dans le cas contraire, la somme de ses chiffres donne un nombre strictement plus grand que 1 et strictement plus petit que p donc un nombre qui ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres Harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Nombres Harshad consécutifs

Helen G. GrundmanHelen G. Grundman a démontré qu'en base dix, il n'existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Elle trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 10^{44 363 342 786}.

Estimation de la densité des nombres Harshad

Si l'on note N(x) le nombre de nombres Harshad inférieurs ou égaux à x, alors

$\lim _{x\to +\infty }N(x){\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {14}{27}}\ln(10)\simeq 1{,}1939.$

Nombre Harshad dans d'autres bases

Un nombre Harshad en base b est souvent appelé un nombre de b-Harshad (notation de Grundman 1994).

Répartition des nombres b-Harshad

Tous les entiers inférieurs ou égaux à b sont des nombres b-Harshad. Les seuls nombres premiers b-Harshad sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à b.

En base 2, il existe une infinité de suites de quatre nombres Harshad consécutifs, alors qu'en base 3, il existe une infinité de suites de six nombres Harshad consécutifs ; ces résultats ont été prouvés tous les deux par T. Tony Cai (en) en 1996.

Nombre Harshad complet

Un nombre qui est un nombre Harshad dans toute base est appelé un nombre Harshad complet, ou un nombre de Niven complet ; il existe seulement quatre nombres Harshad complets, 1, 2, 4 et 6.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harshad number » (voir la liste des auteurs).

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Harshad number », sur MathWorld