Nombre harshad

En mathématiques récréatives, un nombre harshad, ou nombre de Niven, est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. L'appellation harshad, qui signifie grande joie en sanskrit, leur a été donnée par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar qui les a étudiés en 1955 ^[1]. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. En base b, tous les nombres de 0 à b et toutes les puissances de b sont des nombres harshad.

Nombre harshad en base dix

En base dix, les vingt premiers nombres harshad strictement supérieurs à 10 sont (suite A005349 de l'OEIS) :

12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80 et 81.

Les quotients obtenus se trouvent dans la suite A113315 de l'OEIS.

Quels nombres peuvent être des nombres harshad ?

Les multiples de 9 à deux chiffres jusqu'à 90 sont des nombres harshad puisque la somme de leurs chiffres est égale à 9, mais 99 n'en est pas un, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad^[2]. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Nombres harshad consécutifs

Cooper et Kennedy ont démontré^[3]^,^[4] qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 10^{44 363 342 786}) qui sont tous des nombres harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.

Estimation de la densité des nombres harshad

Si l'on note N(x) le nombre de nombres harshad inférieurs ou égaux à x, alors^[5]

\lim _{x\to +\infty }N(x){\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {14}{27}}\ln(10)\simeq 1{,}1939.

Par conséquent, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {N(x)}{x}}=0$ : les nombres harshad sont de densité asymptotique nulle.

Nombre harshad dans d'autres bases

Un nombre harshad en base b est souvent appelé un nombre b-harshad (notation de Grundman 1994).

En base b comme en base dix, on a :

tous les entiers de 0 jusqu'à b sont des nombres b-harshad ;
aucun nombre premier strictement supérieur à b n'est b-harshad ;
il existe une infinité de suites de 2b nombres b-harshad consécutifs, pour b = 2 et pour b = 3 (ces deux résultats ont été prouvés par T. Tony Cai (en) en 1996).

Nombre complètement harshad

Un entier qui est un nombre harshad dans toute base est dit complètement harshad (ou complètement de Niven) ; il existe seulement quatre nombres complètement harshad, 1, 2, 4 et 6.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harshad number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) D. R. Kaprekar, « Multidigital Numbers », Scripta Mathematica, vol. 21,‎ 1955, p. 27
↑ (en) Richard Mollin, Number Theory : Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988, Waltre de Gruyter, 1990 (présentation en ligne), p=630
↑ (en) Curtis Cooper et Robert E. Kennedy, « On consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 31, n^o 2,‎ 1993, p. 146-151 (zbMATH 0776.11003, lire en ligne).
↑ (en) Helen G. Grundman, « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ 1994, p. 174-175 (lire en ligne).
↑ (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái , « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arithmetica, vol. 106, n^o 3,‎ 2003, 265-275 (DOI 10.4064/aa106-3-5, lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Harshad number », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) D. R. Kaprekar, « Multidigital Numbers », Scripta Mathematica, vol. 21,‎ 1955, p. 27

[2] (en) Richard Mollin, Number Theory : Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988, Waltre de Gruyter, 1990 (présentation en ligne), p=630

[3] (en) Curtis Cooper et Robert E. Kennedy, « On consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 31, n^o 2,‎ 1993, p. 146-151 (zbMATH 0776.11003, lire en ligne).

[4] (en) Helen G. Grundman, « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ 1994, p. 174-175 (lire en ligne).

[5] (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái , « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arithmetica, vol. 106, n^o 3,‎ 2003, 265-275 (DOI 10.4064/aa106-3-5, lire en ligne)

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