Ordre moyen d'une fonction arithmétique
En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne.
Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :
Autrement dit, les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont des fonctions asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.
Dans le cas particulier où la limite
existe, on dit que possède la valeur moyenne .
Exemples
- Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
- Un ordre moyen de d(n), nombre de diviseurs de n, est ln(n)
- Un ordre moyen de σ(n), somme des diviseurs de n, est
- Un ordre moyen de φ(n), indicatrice d'Euler de n, est [1]
- Un ordre moyen de ω(n), nombre de facteurs premiers distincts de n, est ln(ln(n))
- Un ordre moyen de Ω(n), nombre de facteurs premiers de n, est ln(ln(n))
- Un ordre moyen de r(n), nombre de façon d'exprimer n comme somme de deux carrés, est π.
- Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt Λ(n) a pour ordre moyen 1, et au fait que la fonction de Möbius μ(n) a pour valeur moyenne 0.
Meilleur ordre moyen
Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet [2] :
( est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :
on tire la relation asymptotique
tandis que
ce qui suggère que ln(n) + 2γ est un meilleur choix d'ordre moyen pour d(n) que simplement ln(n).
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Average order of an arithmetic function » (voir la liste des auteurs).
- (de) Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abh. Kön. Preuß. Akad., , p. 69-83 (lire en ligne) (cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro).
- Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, , chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens »)
- (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 2008, p. 347–360
- (en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 163), (ISBN 9780821898543), p. 43–65