Racine carrée

La racine carrée d'un nombre réel positif x est nombre le réel positif qui une fois multiplié par lui-même donne x.

La racine carrée de x est notée √x.

Par exemple, √16 = 4 puisque 4 × 4 = 16, et √2 =1,41421.. .

Les racines carrées sont importantes pour la résolution des équations du second degré.

En essayant d'étendre la fonction racine carrée aux nombres strictement négatifs on obtient les nombres imaginaires et finalement cela nous mène au corps des nombres complexes.

Propriétés

Les propriétés importantes suivantes de la fonction racine carrée sont valables pour tous nombres réels positifs x et y (dans certains cas strictement positifs) :

${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$

${\sqrt {x\times y}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$

${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|$ pour tout nombre réel x

(voi valeur absolue)

La fonction racine carrée envoie un nombre rationnel sur un nombre algébrique; √x est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel qui à part 0, est un quotient de deux carrés parfaits (0 peut s'écrire ${\frac {0}{\sqrt {2}}}$). En particulier, √2 est irrationnel (son carré 2 n'est pas le quotient de deux carrés parfaits).

La fonction de racine carrée envoie l'aire d'un carré sur la longueur d'un de ses côté.

La fonction racine carrée a la représentation graphique suivante:

La fonction racine est continue en tout réel positif x, et dérivable en tout réel strictement positif x (mais n'est pas dérivable en x=0; en ce point la pente de la tangente est infinie; lacourbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale).

Sa dérivée est donnée par f'(x) = 1/(2√x), et on peut le vérifier en la considérant comme la fonction puissance ${\frac {1}{2}}$ (première propriété énumérée au-dessus).

Son développement en série de Taylor en le point x = 1 peut être obtenu en utilisant la formule du binôme :

${\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}$

$=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots$

pour |x| <1.

Les racines Carrées en algèbre

Soient x et a deux réels, tels que x²=A. Une erreur courante est de «prendre la racine carrée» et d'en déduire que x = √a. Cela est inexacte, parce que la racine carrée de x² n'est pas x, mais la valeur absolue de |x|, d'après l'une des règles ci-dessus.

Ainsi, tout nous pouvons conclure que |x| = √a, ou x = ±√a.

Calcul

L'équation de Pell conduit à une méthode pour trouver des approximations rationnelles de racines carrées de nombres entiers.

Un autre algorithme plus couramment utilisé pour approcher √x est basé sur la méthode de Newton et procède de la manière suivante :

1. on place une valeur positive arbitraire dans r (idéalement la plus proche possible de la racine carrée de x)
2. on remplace r par la moyenne de r et de x/r
3. on recommence à l'étape 2

L'algorithme converge de manière quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts de r double pratiquement à chaque étape.

Cet algorithme fonctionne également bien pour les nombres p-adiques, mais ne peut pas être utilisé pour identifier de vraies racines carrées des racines carrées p-adiques; il est facile, par exemple, de construire une suite de nombres rationnels par cette méthode qui converge vers +3 dans les réels, mais vers -3 dans les 2-adiques.

Les racines Carrées de nombres complexes

Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tels que w² = z. La définition de racine de √z est la suivante : si z s'écrit sous forme trigonométrique z = r exp(iφ) avec -π < φ ≤ π, alors nous posons √z = √r exp(iφ/2).

Ainsi définie, la fonction de racine carrée est holomorphe partout sauf en les réels négatifs. (en lesquels elle n'est même pas continue).Le développement en série de Taylor ci-dessus reste valable pour x complexe.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique, la formule suivante peut être utilisée:

${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}pmje{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}$

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial.

Notons qu'à cause de la nature discontinue de la fonction de racine carrée dans le plan complexe, la relation √(zw) = √(z)√(w) est est fausse en général.

Supposer cette propriété toujours vraie risque de nous conduire à des démonstrations fausses et, par exemple ce qui suit est une démonstration de l'égalité -1 = 1 :

$-1=je\times je={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\times -1}}={\sqrt {1}}=1$

La troisième égalité ne peut pas être justifiée. (Voir le la preuve que 1 est égal à -1.)

Les racines Carrées de matrices et d'opérateurs

Si A est une matrice définie positive ou un opérateur défini positif, alors il existe exactement une matrice ou un opérateur définis positifs B tel que B² = A; nous définissons alors √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction de racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes.