Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément.

Formellement, pour une famille au plus dénombrable d'événements A₁, A₂, A₃, ..., on a :

\mathrm {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathrm {P} \left(A_{i}\right).

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure (et en particulier toute mesure de probabilité) est σ-sous-additive.

Inégalités de Bonferroni

L'inégalité de Boole peut être généralisée pour majorer et minorer la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d'inégalités de Bonferroni.

Posons :

S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {P} (A_{i}),

S_{2}:=\sum _{i<j}\mathrm {P} (A_{i}\cap A_{j}),

et pour 2 < k ≤ n,

S_{k}:=\sum \mathrm {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et k.

Alors pour un entier impair k ≥ 1,

\mathrm {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},

et pour un entier pair k ≥ 2,

\mathrm {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi