Notation bra-ket

La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique (voir Axiomes de la mécanique quantique).

Le nom provient d'un jeu de mots avec le terme anglais bracket qui signifie « crochet de parenthèse », en l'occurrence « $\langle$ » et « $\rangle$ » respectivement appelés « bra » et « ket » (un peu à l'image de bâbord et de tribord). Cette notation est depuis reprise dans l’étude mathématique de l’algèbre des opérateurs, dont le champ d’application est plus large.

L'origine du formalisme

Notation : la notation * signifie qu'il est question du transposé du conjugué d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.

On rappelle que les fonctions d'onde quantiques sont des fonctions du temps, des coordonnées spatiales, voire d'autres paramètres internes (spins, moments magnétiques, …) :

$\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\ldots )$

qu'elles sont solutions de l'équation de Schrödinger :

$i\hbar \partial _{t}\Psi (t,x,\ldots )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,x,\ldots )+V(x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )$

qu'elles sont normalisées, de sorte que :

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =1$

et que la valeur d'une grandeur physique $A$ est obtenue par :

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )A(x,\partial _{x},\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle A\rangle$

La notation de Dirac s'appuie sur l'identification de l'intégrale précédente avec un produit hermitien sur l'espace des fonctions à valeur complexe de carré intégrable L² :

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Psi ,\Psi \rangle$

et par généralisation à deux fonctions $\Phi (t,\dots )$ et $\Psi (t,\dots )$ :

$\int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Phi ,\Psi \rangle$

noté en mécanique quantique : $\langle \Phi \mid \Psi \rangle$. On identifie donc :

• la fonction $\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\dots )$ avec un vecteur formel $|\Psi \rangle$ dénommé ket $\Psi$.
• la fonctionnelle duale $\textstyle \int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots$ avec $\langle \Phi |$ dénommé bra $\Phi$, dual du ket $\Psi$.

D'autre part sous le formalisme de Heisenberg, les solutions ne sont plus des fonctions, mais les vecteurs d'un espace de vecteurs d'états, ce qui rend l'identification encore plus directe.

Ket

Définition

Soit un vecteur de l’espace des états. Il est noté $|u\rangle$ et s'appelle vecteur-ket ou ket.

Deux kets forment un espace vectoriel linéaire. Ainsi, si $\lambda _{1}$ et $\lambda _{2}$ sont des nombres complexes quelconques et $u_{1}$ et $u_{2}$ sont deux kets:

$|v\rangle =\lambda _{1}\cdot |u_{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |u_{2}\rangle$

alors $v$ est un ket.

En allant plus loin, si $|x\rangle$ dépend d’un indice continu $x$, et si $f$ est une fonction complexe normalisée sur $[x_{1}\,,x_{2}]$, alors,

$|u\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x).|x\rangle \mathrm {d} x$

est un ket.

Propriétés

Le produit scalaire de deux kets est un nombre complexe, noté $(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )$ ou plus simplement $\langle \phi \mid \psi \rangle$ (voir plus bas : bra). Comme tout produit scalaire complexe, ce produit est sesquilinéaire, c’est-à-dire que :

$\langle \phi \mid \lambda \cdot \psi _{1}+\mu \cdot \psi _{2}\rangle =\lambda \cdot \langle \phi \mid \psi _{1}\rangle +\mu \cdot \langle \phi \mid \psi _{2}\rangle$

mais que :

$\langle \lambda \cdot \phi _{1}+\mu \cdot \phi _{2}\mid \psi \rangle =\lambda ^{*}\cdot \langle \phi _{1}\mid \psi \rangle +\mu ^{*}\cdot \langle \phi _{2}\mid \psi \rangle$.

(l'expression $c^{*}$ signifie que l'on prend le complexe conjugué de $c$ — voir Nombre complexe)

Ce choix permet la définition d’une norme, qui est positive dans l’espace scalaire des nombres complexes. En effet, le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme :

$\langle \lambda \cdot \psi \mid \lambda \cdot \psi \rangle =\lambda \cdot \lambda ^{*}\cdot \langle \psi \mid \psi \rangle =|\lambda |^{2}\cdot \langle \psi \mid \psi \rangle$,

avec $\lambda$ un scalaire une sorte de facteur d’échelle. Et d'où :

$\langle \psi \mid \psi \rangle =\|\psi \|^{2}$.

Base et composantes

Il est commode d’utiliser une base afin de définir les composantes d’un ket. Il s’agit d'un ensemble de vecteurs $|u_{n}\rangle$, linéairement indépendants. Il y a autant de vecteurs que de dimensions dans l’espace des états ${\mathcal {E}}$, et $\dim {({\mathcal {E}})}=N$.

Ainsi, on peut décomposer $|\psi \rangle$ dans la base des $|u_{n}\rangle$ :

$|\psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}{\psi _{n}\cdot |u_{n}\rangle }$,

où $\psi _{n}$ sont les composantes de $|\psi \rangle$ et appartiennent aux nombres complexes.

On représente généralement un ket comme un vecteur colonne, une suite de nombres (les composantes) rangés verticalement :

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon }={\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}|u_{1}\rangle &|u_{2}\rangle &\cdots &|u_{N}\rangle \end{bmatrix}}$

Bra

Définition

On associe à chaque ket d’un espace $\varepsilon$, un nombre complexe. On définit pour cela une fonctionnelle linéaire $\chi$, telle que :

$\chi :|\psi \rangle \rightarrow \lambda =\chi (\psi )$, et

$\chi {(\lambda _{1}\cdot |\psi _{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |\psi _{2}\rangle )}=\lambda _{1}\cdot \chi {(|\psi _{1}\rangle )}+\lambda _{2}\cdot \chi {(|\psi _{2}\rangle )}$

L’ensemble de ces fonctionnelles linéaires constitue un espace vectoriel $\varepsilon ^{*}$, dit « espace dual de $\varepsilon$ ». On appelle vecteur-bra ou bra un élément de cet ensemble et on le note $\langle \phi |$.

Ainsi, quand la fonctionnelle linéaire $\chi$ agit sur $|\psi \rangle$, on obtient :

$\chi {(|\psi \rangle )}=\lambda =\langle \phi \mid \psi \rangle$.

Cette nouvelle notation souligne la relation qui existe entre bra, ket et le produit scalaire entre kets. Prenons un ket $|\phi \rangle$. Son produit scalaire avec $|\psi \rangle$ donne un nombre $\lambda$. On a ainsi défini une fonctionnelle linéaire qui, à $|\psi \rangle$, fait correspondre un nombre complexe
$\lambda$, à partir de $|\phi \rangle$ :

$\phi {(|\psi \rangle )}=\lambda =(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )$.

Puisque cette fonctionnelle se note $\langle \phi |$, on écrit également :

$(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=\langle \phi |\cdot |\psi \rangle =\langle \phi \mid \psi \rangle$

Ce qui amène à affirmer qu’à chaque ket correspond un bra, tel que le produit scalaire $(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )$ s’écrit $\langle \phi \mid \psi \rangle$. Cette correspondance n’est cependant absolument pas réciproque. Il existe des bras qui n’ont aucun « équivalent ket » car ce sont des distributions.

L’écriture $\langle \phi \mid \psi \rangle$ revêt alors deux significations, l’une étant le résultat de l’application d’une fonctionnelle à un ket, l’autre étant le produit scalaire de deux kets.

Propriétés

Il existe une correspondance entre bra et ket :

$|\psi \rangle \rightarrow \langle \psi |$ (mais $\langle \psi |\rightarrow |\psi \rangle$ n’est pas toujours vrai.)

L’antilinéarité du produit scalaire implique la correspondance suivante :

$\lambda \cdot |\psi \rangle \rightarrow \lambda ^{*}\cdot \langle \psi |$

En effet, la norme de $\lambda \cdot |\psi \rangle$ est définie positive :

${\|\lambda \cdot |\psi \rangle \|}^{2}=\lambda \cdot \lambda ^{*}\cdot \langle \psi \mid \psi \rangle =(\lambda ^{*}\cdot \langle \psi |)\cdot (\lambda \cdot |\psi \rangle )$

On identifie le ket $\lambda \cdot |\psi \rangle$, ce qui implique que le « reste » de l’expression est le correspondant dans l’espace dual des fonctionnelles linéaires.

Composantes

L’écriture de la norme permet d’écrire un bra sous forme de composantes dans l’espace vectoriel dual $\varepsilon ^{*}$ de même dimension que l’espace vectoriel $\varepsilon$ des états :

$\dim {(\varepsilon )}=\dim {(\varepsilon ^{*})}=N$,

$\langle \phi |=\sum _{n=1}^{N}{\phi _{n}\cdot \langle u_{n}|}$,

$|\psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}{\psi _{n}\cdot |u_{n}\rangle }$.

On représente aussi le bra sous la forme d’un vecteur ligne, une suite de nombres (les composantes) rangés horizontalement :

$\langle \phi |={\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon ^{*}}={\begin{bmatrix}\phi _{1}&\phi _{2}&\cdots &\phi _{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\langle u_{1}|\\\langle u_{2}|\\\vdots \\\langle u_{N}|\end{bmatrix}}$

Le produit matriciel ci-dessus est commutatif, car la matrice ligne ne contient que des scalaires, la matrice colonne que des bras unitaires, et le produit d’un scalaire et d’un bra est commutatif, et le produit matriciel d’une matrice colonne et d’une matrice ligne, s'il est défini, est toujours commutatif. Il en est de même du produit matriciel d’une matrice colonne de scalaires et d’une matrice ligne de kets.

Il est alors possible d’écrire le produit scalaire d'un bra et d’un ket sous forme du produit de quatre matrices : deux matrices scalaires et des matrices de bras unitaires ou de kets unitaires. En permutant les matrices scalaires, il reste à déterminer le produit de matrices de bras unitaires et de kets unitaires. Or, ces matrices unitaires sont transposées et conjuguées, ce qui signifie que leur produit se réduit au produit de leurs normes. Comme par définition, la norme des matrices unitaires est 1, ces matrices unitaires peuvent être éliminées du produit scalaire. La définition même du produit scalaire nous permet alors de l'écrire simplement en termes de produit de deux matrices scalaires de la façon suivante :

$\langle \phi \mid \psi \rangle =\left({\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon ^{*}},{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon }\right)={\begin{bmatrix}\phi _{1}&\phi _{2}&\cdots &\phi _{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}=\sum _{n=1}^{N}{\phi _{n}\cdot \psi _{n}}$

Opérateurs et notation de Dirac

D’une façon générale, les opérateurs linéaires agissant sur l’espace $\varepsilon$ des états peuvent s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire d'opérateurs :

$|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |$,

dont l’action sur un état, représenté par le ket $|\phi \rangle$, sera l’état :

$\langle \varphi \mid \phi \rangle \cdot |\psi \rangle$,

permettant une grande économie d’écriture.

Voir aussi

• Mécanique quantique
• Paul Dirac
• Représentation X
• Représentation P