Nombre premier supersingulier

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, un nombre premier supersingulier est un nombre premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles ; il n'en existe que 15 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71 (c'est la suite A002267 de l'OEIS).

Définition géométrique

Pour un entier naturel donné n, soit Γ₀(n) le n-ième sous-groupe de congruence (en) du groupe modulaire Γ₀, et soit w_n l'involution de Fricke (en) définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit X₀(n) la courbe modulaire compactifiée de Γ₀(n)\H (où H désigne le demi-plan de Poincaré), et posons X₀⁺(n) = X₀(n)/w_n.

Un nombre premier p est dit supersingulier si X₀⁺(p) est de genre nul.

Définition algébrique

Il est aussi possible de définir les nombres premiers supersinguliers à l'aide de la théorie des nombres en les associant aux courbes elliptiques supersingulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur j-invariant dans GF(p).

Propriétés

Les nombres premiers supersinguliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M. Ce fait est lié (de manière toujours inexpliquée en 2020) au monstrous moonshine.

Les nombres premiers supersinguliers sont des nombres premiers de Chen.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Supersingular prime » (voir la liste des auteurs) et « Supersingular prime (moonshine theory) » (voir la liste des auteurs).
(en) Noam D. Elkies, « The existence of infinitely many supersingular primes for every elliptic curve over Q », Invent. Math., vol. 89, n^o 3,‎ 1987, p. 561-567 (DOI 10.1007/BF01388985)
(en) Serge Lang et Hale F. Trotter (de), Frobenius distributions in GL₂-extensions, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 504), 1976 (ISBN 0-387-07550-X, zbMATH 0329.12015).
(en) A. P. Ogg (en), Bruce Cooperstein et Geoffrey Mason, The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25–July 20, 1979, Providence, RI, AMS, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (n^o 37), 1980 (ISBN 0-8218-1440-0, zbMATH 0448.10021), « Modular Functions », p. 521-532.
(en) Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves [détail des éditions]

Arithmétique et théorie des nombres