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Produit infini de Cantor

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En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 [1] .

Énoncé du théorème de décomposition

Tout nombre réel x0 strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

où les sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n , et pour n assez grands[2],[3].

Construction du produit

On définit les nombres suivants, où représente la partie entière de x :

.

De on déduit aisément que x1 > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

.

Caractérisation des nombres rationnels[2],[3].

Théorème —  est un nombre rationnel si et seulement si à partir d'un certain rang.

Exemples

  • Pour tout entier ,  ; la suite vérifie bien .
  • , avec et , voir la suite A001601 de l'OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que 2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)[2],[3].

  • Plus généralement, Pour tout entier , , avec et [2],[3].

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

Notes et références

  1. (de) Georg Cantor, « Zum Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produkte », Zeitschrift für Mathematik und Physik,‎ , p. 152-158 (lire en ligne)
  2. a b c et d Daniel Duverney, Théorie des nombres, Dunod, , p. 13-15
  3. a b c et d (en) Daniel Duverney, Number Theory : An Elementary Introduction Through Diophantine Problems (traduction du précédent), World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), , 335 p. (ISBN 978-981-4307-46-8, lire en ligne), p. 15-18.

(de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte, Berlin, (lire en ligne), p. 122-127

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