Théorème de Gerschgorin

En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semyon Aranovich GershgorinSemyon Aranovich Gershgorin. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Gerschgorin ou Geršgorin.

Le théorème

Énoncé

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (a_ij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

$D_{i}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{ii}-z|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\right\}=D(a_{ii},R_{i})$

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon R_i.

Théorème : toute valeur propre de A appartient à l'un au moins des disques de Gerschgorin.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

${\tilde {D}}_{j}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{jj}-z|\leq \sum _{i\neq j}|a_{ij}|\right\}=D(a_{jj},{\tilde {R}}_{j})$

Démonstration

Soient λ une valeur propre de A et x = (x₁, ..., x_n) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a

$(\lambda -a_{ii})x_{i}=\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}$

Choisissons un indice i pour lequel le module de x_i est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |x_i| est non nul et il est possible de former le quotient

$|a_{ii}-\lambda |=\left|\sum _{j\neq i}a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|$

Une variante de démonstration est de remarquer que 0 est valeur propre de $A-\lambda I_{n}$ et d'utiliser un Lemme d'Hadamard.

Références

• Patrick Lascaux et Raymond Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, t. 1 : Méthodes directes [détail des éditions]
• (de) S. Gerschgorin, « Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. » Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
• (en) Richard S. VargaRichard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, 2004 (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), [errata]

Voir aussi

Article connexe

Ovale de Cassini

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Gershgorin Circle Theorem », sur MathWorld
• Localisation des valeurs propres : les disques de Gerschgorin, quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin.