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Calcul des probabilités

Analyse combinatoire

Notion de factorielle

La factorielle d'un nombre est le produit de ce nombre par tous les nombres inférieurs à celui-ci jusqu'à 1.

$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$

On peut simplifier des factorielles dans des fractions. Par exemple :

${\frac {22!}{20!}}={\frac {22\cdot 21\cdot 20!}{20!}}=22\cdot 21=462$

Permutation

Exemple de permutation : on a n élèves qui se placent en file. Combien de possibilés d'ordre dans la file existe-t-il ?

$P_{n}=n!$

Arrangement

Exemple d'arrangement : combien existe-t-il de mots de n lettres ? Autrement dit, on a 26 (k) lettres différentes à placer dans un espace de n caractères.

$A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$

Combinaison

Arrangement sans importance de l'ordre. Exemple de combinaison : combien y a-t-il de possibilités au lotto (k = 42 chiffres, n = 6 caractères, sans tenir compte de l'ordre).

$P_{n}^{k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Calcul des probabilités

Epreuve et événement

Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne sont pas prévisibles avec certitude en fonction des conditions initiales.

On appelle épreuve la réalisation d'une expérience aléatoire.

On appelle évènement la propriété du système qui une fois l'épreuve effectuée est ou n'est pas réalisée.

$\scriptstyle 0<=P(A)<=1$ est la probabilité qu'un événement A se produise.

E désigne l'espace des éventualités. Tout événement lui appartient. $\scriptstyle P(E)=1$

Propriétés de calcul

$\scriptstyle A\cup B$ est la réunion de l'événement A et de l'événement B (donc la jonction de tous les éléments).

$\scriptstyle P(A\cup B)$ est donc la probabilité que A ou B se réalise (ou inclusif).

$\scriptstyle A\cap B$ est l'intersection de A et de B (donc les éléments communs).

$\scriptstyle P(A\cap B)$ est donc la probabilité que A et B se produise en meme temps.</math>

$\scriptstyle {\overline {A}}$ est l'événement contraire de A.

Ainsi, $\scriptstyle P({\overline {A}})=1-P(A)$.

$\scriptstyle P(A\cup {\overline {A}})=1$ et $\scriptstyle P(A\cap {\overline {A}})=0$

Règle de la réunion :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Probabilité conditionnelle

$\scriptstyle P(A|B)$ désigne la probabilité que l'événement A se produise si l'événement B s'est produit.

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Ainsi, on peut dire que $\scriptstyle P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$

Si A et B sont indépendants (le résultat de l'un n'a pas d'influence sur le résultat de l'autre), alors $\scriptstyle P(A|B)=P(B)$ et $\scriptstyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$