$T\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $O(0,0)$ $B(0,r)$ $S(0,r+s)$

Calcul des probabilités[modifier | modifier le code]

Analyse combinatoire[modifier | modifier le code]

Notion de factorielle[modifier | modifier le code]

La factorielle d'un nombre est le produit de ce nombre par tous les nombres inférieurs à celui-ci jusqu'à 1.

$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$

On peut simplifier des factorielles dans des fractions. Par exemple :

${\frac {22!}{20!}}={\frac {22\cdot 21\cdot 20!}{20!}}=22\cdot 21=462$

Permutation[modifier | modifier le code]

Exemple de permutation : on a n élèves qui se placent en file. Combien de possibilés d'ordre dans la file existe-t-il ?

$P_{n}=n!$

Arrangement[modifier | modifier le code]

Exemple d'arrangement : combien existe-t-il de mots de n lettres ? Autrement dit, on a 26 (k) lettres différentes à placer dans un espace de n caractères.

$A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$

Combinaison[modifier | modifier le code]

Arrangement sans importance de l'ordre. Exemple de combinaison : combien y a-t-il de possibilités au lotto (k = 42 chiffres, n = 6 caractères, sans tenir compte de l'ordre).

$P_{n}^{k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Calcul des probabilités[modifier | modifier le code]

Epreuve et événement[modifier | modifier le code]

Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne sont pas prévisibles avec certitude en fonction des conditions initiales.

On appelle épreuve la réalisation d'une expérience aléatoire.

On appelle évènement la propriété du système qui une fois l'épreuve effectuée est ou n'est pas réalisée.

$\scriptstyle 0<=P(A)<=1$ est la probabilité qu'un événement A se produise.

E désigne l'espace des éventualités. Tout événement lui appartient. $\scriptstyle P(E)=1$

Propriétés de calcul[modifier | modifier le code]

$\scriptstyle A\cup B$ est la réunion de l'événement A et de l'événement B (donc la jonction de tous les éléments).

$\scriptstyle P(A\cup B)$ est donc la probabilité que A ou B se réalise (ou inclusif).

$\scriptstyle A\cap B$ est l'intersection de A et de B (donc les éléments communs).

$\scriptstyle P(A\cap B)$ est donc la probabilité que A et B se produise en meme temps.</math>

$\scriptstyle {\overline {A}}$ est l'événement contraire de A.

Ainsi, $\scriptstyle P({\overline {A}})=1-P(A)$ .

$\scriptstyle P(A\cup {\overline {A}})=1$ et $\scriptstyle P(A\cap {\overline {A}})=0$

Règle de la réunion :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Probabilité conditionnelle[modifier | modifier le code]

$\scriptstyle P(A|B)$ désigne la probabilité que l'événement A se produise si l'événement B s'est produit.

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Ainsi, on peut dire que $\scriptstyle P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$

Si A et B sont indépendants (le résultat de l'un n'a pas d'influence sur le résultat de l'autre), alors $\scriptstyle P(A|B)=P(B)$ et $\scriptstyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$