Discussion:Théorème de Cantor

Formulation peu compréhensible

Je suis néophyte sur le sujet, mais il me semble que l'exposé du cas général est difficilement compréhensible du fait de la formulation suivante "le sous-ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à leur image par f n'appartient pas à l'image de f". En effet, que désigne "l'image de f" ?

f, étant l'application, n'a pas d'image. En revanche, un élément de E peut avoir une image par f.

Serait-il possible de reformuler en évitant "l'image de f" ? Est-ce l'image de E par f ?

Oui, c'est l'image de E par f. A reformuler, en effet--Dfeldmann (d) 17 décembre 2012 à 05:45

Merci Dfeldmann pour la reformulation plus claire. Une remarque d'ordre général cependant : la notion d'« ensemble image » d'une application a tout à fait un sens. Cet ensemble, noté Im f, correspondant à f(E). Je reconnais cependant que la correction le sous-ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à leur image par f n'appartient pas à l'ensemble image de f n'aurait pas rendu la lecture de la phrase plus accessible. HB (d) 17 décembre 2012 à 09:03

Doute sur le contenu

Que Cantor ai démontré que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable, c'est un fait indéniable. Que cette propriété s'appelle le théorème de Cantor est plus douteux.

Il me semble que le théorème de Cantor stipule que, pour tout ensemble E le cardinal de E est toujours strictement inférieur au cardinal de P(E): ensemble des parties de E.

Je corrige donc en conséquence. HB 5 janvier 2006 à 12:51

Oui, c'est moi qui avais créé cet article après avoir vu ça en cours, mais je l'ai laissé à l'état d'ébauche afin que quelqu'un de plus compétent que moi vienne le corriger et l'améliorer, ce qui est maintenant chose faite. Mon prof de maths avait montré (mais je ne me rappelle plus la démonstration) que R n'est pas dénombrable et avait dit au passage que c'était un théorème découvert par Cantor. Peut-être a-t-il parlé de théorème pour simplifier les choses, mais ça m'a semblé bien différent du théorème de Cantor-Bernstein, donc je me suis dit qu'il s'agissait bien d'un autre théorème de Cantor, même si ce n'est en réalité qu'un cas particulier. PieRRoMaN ¤ Λογος 5 janvier 2006 à 16:41

oui, c'est l'argument de la diagonale de Cantor HB 5 janvier 2006 à 17:32

Ok, je ne savais pas que ça s'appelait comme ça. Ben au moins, le problème est réglé. Cantor ne va plus se retourner dans sa tombe ;-) PieRRoMaN ¤ Λογος 5 janvier 2006 à 17:39

Je ne suis pas encore familiarisé avec cette théorie mais n'y a t'il pas un problème pour la construction de B? Etons sur de pouvoir le creer? Est ce ici qu'intervient l'actiome du choix? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Vince capes (discuter), le 23/10/2006.

Reformulation

L'exposé de la preuve pourrait être simplifié en prenant directement la réciproque de la fonction f de l'article actuel (il suffit de montrer directement qu'il n'existe pas de surjection de A dans P(A)). Proz (d) 16 mai 2008 à 21:00

Un peu simplifié certes mais par déplacement de pb : en effet la relation d'ordre sur les cardinaux se fait, il me semble, par l'existence d'une injection : card(A) est inférieur ou égal à cardinal de B si et seulement si il existe une injection de A vers B. Donc, en théorie, il faudrait vérifier que l'existence d'une injection de A vers B induit l'existence d'une surjection de B vers A. J'éprouve beaucoup de méfiance sur l'existence des injections et des surjections sur des ensembles infinis qui fait parfois appel à l'axiome du choix. Il me semble que dans ce cas, l'implication est vraie sans axiome du choix., mais il faudrait le prouver ou renvoyer vers un article qui le prouve. D'autre part, j'ai oublié mes sources mais il me semble que la dem de Cantor utilisait l'injection. Cependant, si tu penses que changer la dem améliorerait la lisibilité de l'article surtout n'hésite pas. HB (d) 18 mai 2008 à 09:29

S'il existe une injection de B (non vide) dans A, il existe une surjection de A dans B sans AC (il suffit de compléter arbitrairement pour la réciproque en envoyant sur un même élément), donc pas de problème (c'est la réciproque qui équivaut à AC). Par ailleurs l'ordre strict peut se définir aussi par il existe une injection et pas de bijection. Pour ce qui est de Cantor, j'ajoute la référence à l'article, et je compte en dire qulques mots. Il traite deux exemples (N et [0,1]) par les fonctions caractéristiques, et affirme que ça se généralise. autant que je comprenne (ma compréhension de l'allemand est très limitée), il montre qu'une fonction de N dans P(N) ne peut être surjective dernière alinea de la p 278), ce qui me semble le plus direct. Ceci dit, c'est pour la lisibilité, pas le respect de l'original, qui n'est vraiment pas forcément la bonne méthode d'exposition. Proz (d) 19 mai 2008 à 11:36

Bon, tu le fais ou je le fais ? HB (d) 19 mai 2008 à 17:51

J'ai commencé. Les deux derniers paragraphes ne sont pas finis. J'en ai profité pour virer le gothique (un peu démodé). On peut donner quelques exemples d'ensembles diagonaux pour des ensembles simples (finis ou N) ? Proz (d) 19 mai 2008 à 21:42

sur l'argument diagonal

Dans l'essence des choses, est-ce que ce n'est pas juste une affaire de calcul des prédicats ?

A partir de :

$\lnot \exists \ b\quad [\forall x\quad (x{\mathcal {R}}\ b\iff \lnot x{\mathcal {R}}x)]$, où ${\mathcal {R}}$ est un prédicat binaire quelconque, ce qui est le "paradoxe" du barbier,

on obtient, en substituant "$x\in f(y)$" à "$x{\mathcal {R}}y$" :

$\lnot \exists \ b\quad [\forall x\quad (x\in f(b)\iff x\notin f(x))]$.

--Michel421 (d) 13 septembre 2008 à 10:46

Oui, c'est un argument diagonal, et non le th. ne se résume pas à l'aspect logique, même s'il est très simple (il faut un minimum de th. des ensembles). En fait je ne vois pas où tu veux en venir (quelle incidence sur l'article ?). Proz (d) 13 septembre 2008 à 21:43

La logique m'apparaît jouer ici le rôle essentiel, c'est une remarque en passant ; je te laisse décider de la question de voir si dans l'article il convient de dire ce qui revient à la logique et ce qui dépend de la théorie des ensembles. --Michel421 (d) 14 septembre 2008 à 12:44

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• OUI !! Le lemme sous-jacent au théorème de Cantor est

Si $A$ est une application d'un ensemble $E$ dans $P(E)$ (ou un surensemble) ; alors

$\neg \left(\exists d\in E:A(d)=\left\{e\in E:e\not \in A(e)\right\}\right)$

Il est bien plus fondamental que le théorème et il doit absolument figurer quelque part. L'article argument diagonal serait une meilleure place mais son contenu actuel ne s'y prête pas. Il manque un article de synthèse autour de "argument diagonal" et des paradoxes et théorèmes qui y sont liés.   <STyx @ (en long break) 12 janvier 2010 à 04:33

• Pour le paradoxe du barbier E est l'ensemble des villageois ; A est l'application qui à chaque villageois donne l'ensemble des villageois qu'il rase. La diagonale de Cantor (D dans l'article) est l'ensemble des villageois qui ne se rasent pas eux-mêmes. Enfin l'élément diagonal (y dans l'article) est le barbier : le villageois qui rase tous les villageois qui ne se rasent pas eux-mêmes. Le paradoxe est lié à la question de savoir s'il se rase lui-même. L'erreur tient au fait qu'en définissant le barbier on affirme implicitement et sournoisement son existence. Tout est dit   <STyx @ (en long break) 12 janvier 2010 à 04:33

Ton énoncé est dans l'article, en français, sous la forme e sous-ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à leur image par f D={x ∈ E | x ∉ f(x)} n'appartient pas à l'image de f. C'est l'argument principal d'une démonstration très courte, on ne va pas ajouter de lemme pour ça.

Il y a manifestement quelque chose qui t'échappe, et tu devrais éviter les commentaires arrogants que tu laisses cachés dans le texte. En théorie des ensembles une fonction n'est pas un élément primitif. C'est entre autres pour cette raison que la démonstration par le paradoxe de Russell de la non existence d'un ensemble de tous les ensembles est plus directe : elle n'utilise qu'un axiome de compréhension (et oui il faut des axiomes ce n'est pas purement logique), parce que la fonction en jeu est l'identité, et que donc il n'est pas besoin de parler de fonction. Il n'y a pas besoin non plus de parler de l'ensemble des parties (il faudrait encore un axiome). Si tu veux analyser logiquement les choses il faut prendre la formulation de Michel421, pas la tienne. Proz (d) 12 janvier 2010 à 10:55

A la relecture : j'avais laissé traîner à tort la première phrase (d'où la redondance). Pour ce qui est de la démonstration par la cardinalité, très indirecte, on la trouve dans la littérature. Mes reformulations de ton explication (tout à fait correcte) à propos de l'analyse de Russell sont purement cosmétiques : il s'agit juste de mettre en évidence que l'ensemble des parties disparait. Proz (d) 12 janvier 2010 à 11:47

remarques

1/ il serait bien (voir nécessaire) de définir la subpotence. 2/ "En présence de l'axiome du choix, tout ensemble étant bien ordonné, et donc le théorème de Cantor montre qu'il n'y a pas de plus grand aleph (ni de plus grand ordinal)" ne me semble pas trop français... Claudeh5 (d) 12 janvier 2010 à 19:02

1/ j'ai préféré expliciter, 2/ j'ai détaillé (et laissé tomber le plus grand ordinal, ce qui est mineur ici). On parle bien d'aleph (au moins en anglais), maintenant si tu vois une meilleure façon de formuler ... Proz (d) 12 janvier 2010 à 19:39

Ne manque-t-il pas un point dans la démo?

Pour conclure la démo il me semble qu'il faut aussi envisager le cas où $D$ est vide. Car si $D$ est vide la surjectivité de $f$ n'est pas remise en question.

Je pense que l'argument suivant convient, mais il y a peut-être plus simple :

supposons $D$ vide, i.e. $\forall x,x\in f(x)$. Alors $\emptyset$ n'a pas d'antécédent $z$ car on aurait $z\in \emptyset$, donc $f$ n'est pas surjective.

Si quelqu'un pouvait fixer ce détail, je n'ose pas le faire car la théorie des ensemble n'est pas mon fort ! 77.196.29.92 (d) 23 février 2010 à 00:24

Inutile : la démonstration ne suppose rien sur D. Elle est valide même si D est vide (et même aussi si D=E). Anne 23/2/10 à 2 h 07

Au temps pour moi j'avais lu trop vite je pensais que D était un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée non inclus dans l'image (auquel cas il fallait encore montrer qu'il n'était pas vide), en fait D est un élément de l'ensemble d'arrivée non contenu dans l'image donc pas de problème. 134.157.119.4 (d) 25 février 2010 à 16:52

Question "naïve"

Si l'ensemble N est équipotent à l'une de ses parties, pourquoi n'en serait-il pas de même pour P(N) ? Si P(N) est infini, pourquoi n'est-il pas équipotent, comme N, à l'une de ses parties ? Et si le théorème de Cantor démontrait, non pas qu'il y a plus de nombres infinis que de nombres finis, mais tout simplement qu'il est IMPOSSIBLE d'avoir une liste de nombres infinis (même finie) ? 90.56.217.63 (d) 13 juin 2010 à 13:24

P(N), comme N, est un ensemble infini, donc est équipotent à l'un de ses sous-ensembles propres. Le théorème de Cantor dit autre chose que l'une ou l'autre de vos deux "assertions informelles" : il dit que dans un ensemble (fini ou pas) il y a toujours plus de sous-ensembles que d'éléments.

Anne 13/6/10 à 22 h 21

Le problème est que les ensembles infinis ne se comportent pas comme les ensembles finis. En effet, on voit clairement qu'il n'y a pas de "plus grande partie" dans N, puisque N est équipotent à n'importe laquelle de ses parties. Par conséquent, en vertu de quoi P(N) pourrait-il être "plus grand" que N ? Et si le théorème de Cantor ne fonctionnait que pour les ensembles finis ? 90.40.117.186 (d) 14 juin 2010 à 09:09

En vertu du présent théorème de Cantor, dont la démonstration est donnée dans l'article..... Je n'ai pas trouvé de faille là-dedans, par contre j'ai trouvé la faille dans cette ArXiv qui prétend démontrer que Cantor a tort (en fait 2 failles, mais 1 seule est intéressante, elle me rappelle certains papiers suspectés d'usage maladroit des variables).

Maintenant, dans une axiomatique plus limitée que ZF, il se pourrait que P(N) n'existe pas, ou ne soit pas un ensemble. A noter aussi que dans NBG, si on note par V l'univers des ensembles (qui évidemment n'est pas un ensemble mais une classe propre), on a bien P(V) Eq V, en fait on a même P(V) = V. Ceci parce que les sous-classes de V sont généralement des classes propres, alors que les sous-classes d'un ensemble sont des ensembles. Michel421 _{parfaitement agnostique} 22 juillet 2010 à 21:29

Kurt Gödel (1940). The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press. (ISBN 0691079277), chap I p. 3-7.

P(N) n'est pas supérieur à N.

Considérons l'ensemble S des suites de raison n. Cet ensemble est donc une partie de P(N). Or, S est équipotent à N. Par conséquent, si toute partie de P(N) est équipotente à P(N), et si au moins une partie de P(N) est équipotente à N, alors P(N) est équipotent à N. Le théorème de Cantor ne marche pas pour les ensembles infinis. 90.40.254.75 (d) 7 juin 2011 à 11:36

toute partie de P(N) est équipotente à P(N), ben non (par exemple l'ensemble vide est une partie de P(N) non équipotente à P(N)). --Epsilon0 ε₀ 7 juin 2011 à 12:06

Théorème de Dedekind : un ensemble est infini s'il est équipotent à l'une de ses parties propres (voir le message plus haut de Anne). Peut-être que la formulation "toute partie de P(N) est équipotente à P(N)" est impropre. Mais cela ne remet pas en cause la démonstration générale. L'ensemble vide est un ensemble fini. 90.39.222.105 (d) 16 juin 2011 à 10:23

cela ne remet pas en cause la démonstration générale si vous entendez la démonstration de l'article on est d'accord, si vous entendez le prétendu thm On voit bien que P(N) n'est pas supérieur à N on ne l'est pas. Autre exemple : l'ensemble N est une partie de P(N) qui n'est pas équipotente avec P(N)... puisque c'est justement ce que dit ce thm de Cantor. Sinon une partie de P(N) est finie, infinie dénombrable (taille de N) ou de la taille de P(N) et il y a d'autres possibilités si on n'a pas l'hypothèse du continu. --Epsilon0 ε₀ 16 juin 2011 à 11:24

Je viens de vous démontrer qu'au moins une partie de P(N) est équipotente à N. L'ensemble S des suites de raison n n'est-il pas une partie de P(N)? Donc N est équipotent à P(N) en vertu du théorème de Dedekind et le théorème de Cantor ne fonctionne que pour les ensembles finis. Il n'existe pas d'autre infini que N. C'est peut-être frustrant mais je n'y peux rien, à moins qu'on me démontre par un argument solide que S n'est pas équipotent à N (le théorème de Cantor ne distingue pas le fini de l'infini, et c'est là son erreur).86.201.90.43 (d) 2 septembre 2011 à 18:46

*Je viens de vous démontrer qu'au moins une partie de P(N) est équipotente à N. Ça, ce n'est pas nouveau. N est une partie de P(N), et N est équipotent à N. Pas besoin de s'amuser avec S pour démontrer ceci.

• L'ensemble S des suites de raison n n'est-il pas une partie de P(N) ? Si.
• Donc N est équipotent à P(N) en vertu du théorème de Dedekind. Non. Le théorème « Si un ensemble est équipotent à l'une de ses parties propres, alors il est infini » ne risque pas de montrer qu'un ensemble est équipotent à N.

Zandr4^[Kupopo ?] 2 septembre 2011 à 20:27

Il me semble que vous confondez élément et partie ... N est un élément de P(N), et une partie de lui-même. Or, nous avons là une partie de P(N), S, qui est équipotente à l'un de ses éléments, N, et c'est pour cela que je m'amuse avec S. Ce qui risque de montrer qu'un ensemble est équipotent à N, c'est que l'une de ses parties soit équipotente à N. Mais je suis prêt à me rendre devant toute contre-démonstration solide, bien entendu.86.201.90.43 (d) 2 septembre 2011 à 22:21

Pour parler proprement, j'aurais dû parler non pas de N, mais de {{0},{1},{2},{3}...}.

« Ce qui risque de montrer qu'un ensemble est équipotent à N, c'est que l'une de ses parties soit équipotente à N. » C'est ce point qu'il reste à justifier dans votre raisonnement.

Zandr4^[Kupopo ?] 2 septembre 2011 à 22:58

S n'est pas une partie de P(N) ; c'est une partie de P(P(P(N))) ; voir les articles sur les suites (qui sont des fonctions) et les termes de suites (qui sont des couples) ; pour le reste, d'accord avec Zandr4 ; cordialement, Michel421 _{parfaitement agnostique} 4 septembre 2011 à 01:10

Je crois que cette section ne peut rien apporter de bon à l'article

Je suggère de ne plus répondre à cette personne qui se manifeste sous ip et qui 1/ droit dans ses bottes énonce péremptoirement avec un aplomb étonnant et avec un vocabulaire très imprécis, une contre démonstration de 2 lignes, pour un thm qu'elle doit pourtant savoir bien établi depuis plus d'un siècle, sans exprimer aucun doute sur la qualité de son jugement propre 2/ utilise un ton hautain assez désagréable lors que manifestement il y a des choses qu'elles n'a pas comprise et que l'on pourrait lui expliquer (bien que les pages de discussions des articles ne soient pas dédiées à cela) si s'alliaient dans ses interventions et une modestie élémentaire et une clarté de propos permettant de rester dans le registre strict des maths. Là je reste sur la forme, voyant mal le fond, en usant aussi d'un argument d'autorité (thm établi depuis un siècle) ce qui ne me plait guère et n'est pas l'usage en maths, MAIS les pénibles moyennement de bonne foi qui contestent avec véhémence les thms classiques de maths, comme typiquement celui-ci ou celui sur la transcendance de pi, je crois que passé un dialogue raisonnable, il faut tirer à vu : wp n'est pas un forum de discussion où l'on doit déceler où est l'erreur dans un raisonnement, mais une encyclopédie en construction du savoir établi. Désolé du coup pour cette certaine, mienne, véhémence de propos --Epsilon0 ε₀ 4 septembre 2011 à 11:46

Même avis : peut-on effacer cette section (après avoir remercié Zandr4 de sa bonne volonté) ? Proz (d) 4 septembre 2011 à 21:04

Effacer, je dirais non pour une pdd (on ne le fait qu'en cas de propos totalement outrancier ou totalement déplacé). Par contre possibilité me semble t-il de déplacer en pdd de l'ip avec lien ici. Maintenant bcp de pdd d'articles (souvent sur des sujets + polémiques comme religion ou politique) comportent des sections où sont remis en cause des savoir établis et qui sont conservées pour permettre à ceux qui veulent relancer un marronnier que le sujet a déjà été abordé et est +- clos. --Epsilon0 ε₀ 5 septembre 2011 à 21:04

Désolé pour le ton employé mais je reste persuadé que le théorème de Cantor ne peut s'appliquer aux ensembles infinis si le théorème de Dedekind est vrai ("un ensemble est infini s'il est équipotent à l'une de ses parties propres"). La contradiction est : comment un ensemble infini et indénombrable (comme P(N) d'après Cantor) peut-il contenir des parties dénombrables et être équipotent à l'une de ses parties propres ? Epsilon, il me semble pourtant que ce vocabulaire est précis. Si vous avez la réponse (ce dont je ne doute pas), expliquez-moi comme si j'avais sept ans. J'ai remarqué qu'il n'existe aucun article dans WIKI sur le théorème de Dedekind. Sans doute n'est-il plus à la mode, et pour cause ... 90.40.254.131 (d) 7 septembre 2011 à 11:13

A sept ans, je crois qu'on peut déjà comprendre la différence entre "P(N) est équipotent à une de ses parties propres (par exemple P(N)-{l'ensemble vide})" et "P(N) est équipotent à toutes ses parties propres", ce qui en effet, contredirait plein de choses...--Dfeldmann (d) 7 septembre 2011 à 13:28

Votre propos étant là très clair, Dfeldmann a très précisément pointé votre erreur. Sinon ce thm de Dedekind est tellement à la mode qu'il est une, voire, la def la plus usuelle d'un Ensemble infini ; voyez l'entête de l'article. --Epsilon0 ε₀ 7 septembre 2011 à 21:53

L'ennui, c'est que l'ensemble N est équipotent à "n'importe laquelle de ses parties propres" (par ex, N équipotent à N/2, N/3, N/4 ...). C'est ce que signifie, pour moi, "l'une de ses parties propres", c'est à dire "une partie de l'ensemble prise au hasard", pas "une partie de l'ensemble en particulier". Si je vous ai bien compris, l'ensemble P(N), indénombrable, fonctionnerait à plusieurs vitesses. Il serait équipotent à certaines de ses parties, et pas à d'autres. Bizarre ... 92.141.221.239 (d) 8 septembre 2011 à 10:16

N n'est pas équipotent à sa partie propre {1,2,3,4}. Franchement, vous devriez arrêter, ici c'est un courrier des éditeurs, pas un courrier des lecteurs ; mais envoyez moi un mail et je vous répondrai. Michel421 _{parfaitement agnostique} 8 septembre 2011 à 14:02

Il ne s'agit pas de partie finie évidemment, mais infinie (N/2 est une partie infinie de N, ou 2N si vous préférez). Bon, désolé d'avoir touché à la légende de Cantor. Je vous laisse tranquille. 90.40.84.148 (d) 9 septembre 2011 à 11:35

Pour peu que vous n’admettiez pas l’axiome du choix, il y a des parties propres de N qui ne sont pas équipotentes à N tout en étant infinies. Pour le reste, vous n’avez pas « touché à la légende de Cantor », vu qu’il n’y a pas de légende ; il y a une démonstration, qui est là, et que vous n’avez pas touché non plus . Michel421 _{parfaitement agnostique} 9 septembre 2011 à 18:26

Les parties infinies de N sont dénombrables (voir ensemble dénombrable), ce qui n'a pas de rapport avec le th. de Cantor. Pour le reste cf. avis de Epsilon0 du 4/09. Proz (d) 9 septembre 2011 à 18:48

Oui, Michel421 me semble en effet dans l'erreur sur ce coup : N étant bien ordonné, tout sous-ensemble infini S de N peut facilement être mis en bijection avec N, en posant f(n+1)= min ({x tel que x appartient à S et x n'appartient pas à f(1),f(2),...,f(n)}). Bon, cela dit, ce pauvre Cantor n'a plus grand chose à voir avec toute cette histoire, et notre interlocuteur commence à furieusement ressembler à un troll (il est d'ailleurs sans doute déjà parti).--Dfeldmann (d) 9 septembre 2011 à 18:59

Attribution de l'argument diagonal

L'argument diagonal a été utilisé par Du Bois-Reymond (pour des hiérarchies de fonctions croissantes, si je me souviens, la diagonale croit plus vite que les fonctions énumérées). Il est possible que Cantor l'ait redécouvert (de souvenir), il l'utilise de façon plus claire et plus frappante. Il ne faut rien mettre dans l'article pour l'instant sans source précise. Je propose de revenir à la forme antérieure de l'intro. Proz (d) 4 septembre 2011 à 21:00

- sur Du Bois Reymond j'ai une source, mais c'est le bouquin de Borel sur les nombres inaccessibles (Borel utilise le procédé de Du Bois Reymond), je ne sais pas si on peut se servir d'une source devenue aussi difficilement disponible. Michel421 _{parfaitement agnostique} 4 septembre 2011 à 21:53

Borel dit ceci : Ce théorème s'obtient par l'application de la méthode diagonale, dont il semble bien que Paul du Bois Reymond a été ainsi l'inventeur. Le théorème de Paul du Bois Reymond consiste en ce que, si l'on donne une infinité dénombrable de fonctions croissantes φn(x), il est possible de construire une fonction ψ(x) croissant plus rapidement que chacune des φn(x).

Plus loin, page 14 : Cette fonction ψ(x) et toutes ses itérées rentreront dans la catégorie des fonctions qui interviennent dans la définition des nombres accessibles et, par suite, quelle que soit la rapidité de la croissance de ψ(x), elle est négligeable par rapport aux nombres inaccessibles, lesquels resteront inaccessibles dans tous les numérotages considérés. Michel421 _{parfaitement agnostique} 5 septembre 2011 à 19:07 :

Émile Borel, Les nombres inaccessibles, Gauthier-Villars - Paris 1952, page 13

Si j'avais fait cette modif de l'intro c'était en me fiant un peu aveuglement à Argument de la diagonale de Cantor qui débute par L'argument de la diagonale, ou argument diagonal fut découvert par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) et publié en 1891, c'est donc à la vue de ce propos de de Borel plutôt quelque chose à indiquer dans cet article là.

Sinon pour moi évidemment un ouvrage même difficilement disponible (je me rappelle de la discussion sur feu réel définissable où tu étais parti dénicher cette perle rare) est totalement admissible comme source. Déjà il peut encore être acheté neuf et même, sinon, il doit y avoir +- 100.000 titres disponibles en librairie en France (pays pris au hasard) pour +-10 millions à la bnf et +- 100 millions édités dans le monde, on n'a pas selon moi à se limiter à un millième des ouvrages existant dans une encyclopédie. P.-e. la moitié de mes bouquins de logique ne sont pas réédités (genre le théorie naïve des ens. de Halmos en français donc) et 90% des articles de type fondement des maths. Ces citations me semblent très bien venues, mais p.-e. plus dans l'autre article qui a fusionné avec feu Argument diagonal, voir Discussion:Argument diagonal. L'important est la vérifiabilité et là en 3 clics je prouve tes citations grace à google book. --Epsilon0 ε₀ 5 septembre 2011 à 20:52

On peut bien-sûr utiliser le livre de Borel (en plus Borel ...), effectivement plutôt pour corriger l'autre article. Un livre historique permettrait de contextualiser (mais le mieux est l'ennemi du bien) : Cantor a pu redécouvrir l'argument, l'utilisation de Cantor est quand même plus étonnante que celle de du Bois Reymond (après tout la diagonale des k -> n+k c'est n-> 2n etc. on passe de même à n^2, etc.), et il y a quelque chose de plus (en déduire un résultat négatif). Je ne serais pas d'accord pour reséparer Argument diagonal et Argument de la diagonale de Cantor, ça désigne bien la même chose. Proz (d) 5 septembre 2011 à 21:38

2 questions rhétoriques sur le cœur de la démo

Actuellement, il est rédigé ainsi :

raisonnement par l'absurde : […] [Si] D = f(y), alors :

• si y est dans D, par construction de D, y n'appartient pas à son image… c'est-à-dire que y n'appartient pas à D ;
• si y n'est pas dans D, toujours d'après la construction de D, y doit appartenir à son image… c'est-à-dire à D.

Les deux hypothèses mènent bien à une contradiction.

1. Est-ce qu'il ne faut pas parler aussi de tiers exclu ?

2. D'autre part, une variante de style serait :

Si D = f(y), alors :

$y\in D\Leftrightarrow y\in f(y)\Leftrightarrow y\notin D$.

Mais pourrait-on alors encore dire que c'est un raisonnement par l'absurde ?

Anne 19/3/17, 17 h 38

Pour 1 : ce n'est pas un vrai tiers-exclu car on peut conclure de la 1ere partie l'hypothèse de la seconde, on peut donc enchaîner le premier vu comme une démonstration par l'absurde de "y n'appartient pas à D", puis le second qui aboutit alors à une contradiction. On pourrait changer la formulation de la conclusion ("ce qui conduit bien à une contradiction"), mais ça me semble plus clair comme actuellement, même si l'inconvénient et que ça peut induire à penser qu'il y a utilisation du tiers-exclu.

Remarque : ce sont des raisonnements par l'absurde au sens commun (depuis les grecs) mais le raisonnement est valide au sens des intuitionnistes : ça n'utilise que l'introduction de la négation (deux fois), (voir déduction naturelle), pas de tiers exclu.

Pour le second point : c'est une version qui ne détaille pas pourquoi A <--> ~A conduit à une contradiction, pas franchement un raisonnement différent. Proz (discuter) 20 mars 2017 à 15:27 (CET)