Nombre chanceux d'Euler

En mathématiques, un nombre chanceux d'Euler est un entier naturel p > 1 tel que :

$P_{p}(n)=n^{2}+n+p$ est un nombre premier pour tout $n=0,1,...,p-2$.

Formulation équivalente, parfois rencontrée :

$Q_{p}(n)=n^{2}-n+p$ est un nombre premier pour tout $n=1,...,p-1$ ou encore pour tout $n=0,1,...,p-1$.

Liste des nombres chanceux d'Euler

Leonhard Euler a identifié six nombres chanceux :

$p=2,3,5,11,17,41$

et leur dénomination nombre chanceux d'Euler a été proposée par François Le Lionnais.

En fait il n'en existe aucun autre, comme cela a été démontré en 1952. Ce résultat s'appuie sur un théorème de Rabinowitch qui affirme qu'un entier p > 1 est chanceux si et seulement si 4p – 1 (l'opposé du discriminant du polynôme quadratique P_p) est un nombre de Heegner. Or la liste des nombres de Heegner s'est avérée réduite aux neuf nombres 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163, dont les trois premiers ne sont pas de la forme 4p – 1 avec p > 1.

p (nombre chanceux d'Euler)	4p - 1 (nombre de Heegner correspondant)
2	7
3	11
5	19
11	43
17	67
41	163

Cas particulier de 41

Le plus grand nombre chanceux d'Euler est donc p = 41. Les 40 nombres premiers P₄₁(n) pour n = 0, 1, … ,39 sont : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, …, 1447, 1523, 1601. Le polynôme n² + n + 41 a d’ailleurs la particularité de fournir de nombreux nombres premiers pour n > 41, et il n'existe pas d'autre polynôme de la forme n² + an + b, avec des coefficients a et b entiers positifs et inférieurs à 10 000, qui produise une plus longue suite de nombres premiers.

Exemple : 11 est un nombre chanceux d'Euler

Soit $p=11$. Testons si $P_{11}(n)=n^{2}+n+11$ est premier pour tous les nombres $n=0,1,...,9$ :

$n=0$ : $P_{11}(0)=0^{2}+0+11=11$ qui est premier.

$n=1$ : $P_{11}(1)=1^{2}+1+11=13$ qui est premier.

$n=2$ : $P_{11}(2)=2^{2}+2+11=17$ qui est premier.

$n=3$ : $P_{11}(3)=3^{2}+3+11=23$ qui est premier.

$n=4$ : $P_{11}(4)=4^{2}+4+11=31$ qui est premier.

$n=5$ : $P_{11}(5)=5^{2}+5+11=41$ qui est premier.

$n=6$ : $P_{11}(6)=6^{2}+6+11=53$ qui est premier.

$n=7$ : $P_{11}(7)=7^{2}+7+11=67$ qui est premier.

$n=8$ : $P_{11}(8)=8^{2}+8+11=83$ qui est premier.

$n=9$ : $P_{11}(9)=9^{2}+9+11=101$ qui est premier.

On a vérifié que les 10 nombres $P_{11}(n)$ sont bien premiers donc 11 est un nombre chanceux d'Euler.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucky numbers of Euler » (voir la liste des auteurs).

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