Nombre hautement composé supérieur

Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.

Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.

Définition[modifier | modifier le code]

Un nombre $n$ est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que :

pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$ : ${\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}\geq {\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}$
pour tout entier naturel $k$ strictement supérieur à $n$ : ${\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}>{\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}$

où $\sigma _{0}$ est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.

Liste[modifier | modifier le code]

Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants :

Nombre hautement composé supérieur (suite A002201 de l'OEIS)	2	6	12	60	120	360	2520	5040	55 440	720 720
Nombre de diviseurs positifs	2	4	6	12	16	24	48	60	120	240
Décomposition en facteurs premiers	2	2 ⋅ 3	2² ⋅ 3	2² ⋅ 3 ⋅ 5	2³ ⋅ 3 ⋅ 5	2³ ⋅ 3² ⋅ 5	2³ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13
Décomposition en produit de primorielles	2	6	2 ⋅ 6	2 ⋅ 30	2² ⋅ 30	2 ⋅ 6 ⋅ 30	2 ⋅ 6 ⋅ 210	2² ⋅ 6 ⋅ 210	2² ⋅ 6 ⋅ 2310	2² ⋅ 6 ⋅ 30030

On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.

Propriétés[modifier | modifier le code]

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Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.

Bases hautement composées supérieures[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer :

le système binaire : base 2
le système sénaire : base 6
le système duodécimal : base 12
le système sexagésimal : base 60

En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Superior highly composite number » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Chapitre IV : «Superior Highly Composite Numbers», p. 389 et suivantes dans :
Srinivasa Ramanujan, « Highly composite numbers », Proceedings of the London Mathematical Society, London Mathematical Society, vol. 14, n^o 2,‎ 1915, p. 347–409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, JFM 45.1248.01, lire en ligne) Réimp. dans Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Table des diviseurs

Liens externes[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant