Relation de Hasse–Davenport

Les relations Hasse-Davenport, introduites par Davenport et Hasse (1935), sont deux identités liées aux sommes de Gauss, l'une de relèvement et l'autre de produit. La relation de relèvement de Hasse-Davenport est une égalité en théorie des nombres reliant les sommes de Gauss sur différents corps. Weil (1949) les utilisa pour calculer la fonction zêta d'une hypersurface de Fermat sur un corps fini, ce qui a motivé les conjectures de Weil.

Les sommes de Gauss sont des analogues de la fonction gamma sur des corps finis, et la relation produit de Hasse-Davenport est l'analogue de la formule de multiplication de Gauss

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!$

En fait, la relation de produit de Hasse-Davenport découle de la formule de multiplication analogue pour les fonctions gamma <i id="mwFg">p</i>-adiques ainsi que de la formule de Gross-Koblitz & Koblitz (1979) .

Relation de redressement de Hasse-Davenport

Soit F un corps fini à q éléments, et F _s le corps tel que [F_s : F ] = s, c'est-à-dire que s est la dimension de l'espace vectoriel F _s sur F.

Soit $\alpha$ un élément de $F_{s}$, et $\chi$ un caractère multiplicatif de F.

Soit $N_{F_{s}/F}(\alpha )$ la norme de $F_{s}$ sur $F$ définie par

$N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,$

Soit $\chi '$ le caractère multiplicatif sur $F_{s}$ qui est la composition de $\chi$ avec la norme de F _s sur F, c'est-à-dire

$\chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))$

Soient enfin ψ un caractère additif non trivial de F, et $\psi '$ le caractère additif $F_{s}$ qui est la composition de $\psi$ avec la trace de F _s sur F, c'est-à-dire

$\psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))$

et

$\tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)$

la somme de Gauss sur F, et soit $\tau (\chi ',\psi ')$ la somme de Gauss sur $F_{s}$.

La relation de redressement de Hasse-Davenport montre que

$(-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').$

Relation produit de Hasse-Davenport

La relation de produit Hasse-Davenport stipule que

$\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )$

où ρ est un caractère multiplicatif d'ordre m divisant q –1 et χ est un caractère multiplicatif et ψ est un caractère additif non trivial.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hasse–Davenport relation » (voir la liste des auteurs).

•  (de) Harold Davenport et Helmut Hasse, « Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (On the zeros of the congruence zeta-functions in some cyclic cases) », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 172,‎ 1935, p. 151–182 (ISSN 0075-4102, zbMATH 0010.33803, lire en ligne)
•  Benedict H. Gross et Neal Koblitz, « Gauss sums and the p-adic Γ-function », Annals of Mathematics, vol. 109, n^o 3,‎ 1979, p. 569–581 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1971226, JSTOR 1971226, MR 534763)
• Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990, 158–162 (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne)
• André Weil, « Numbers of solutions of equations in finite fields », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 55, n^o 5,‎ 1949, p. 497–508 (ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , MR 0029393)