Théorème de Fueter-Pólya
Le théorème de Fueter-Pólya, prouvé en 1923 par Rudolf Fueter et George Pólya, énonce que les seules bijections quadratiques de dans (l'ensemble des entiers naturels) sont les deux polynômes de Cantor.
Histoire[modifier | modifier le code]
En 1873, Cantor démontra[1] que le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable, en exhibant la fonction polynomiale
- ,
qui réalise une bijection de dans , appelée fonction de couplage de Cantor. En intervertissant les deux variables, on obtient donc aussi une bijection ().
En 1923, Fueter chercha à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et prouva qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose . Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte, et conjectura que même la restriction sur le degré est inutile. Ils publièrent cet échange épistolaire[2]. Leur preuve est étonnamment analytique et difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass[3].
En 2001, Maxim Vsemirnov a publié[4] une démonstration élémentaire du théorème de Fueter-Pólya, utilisant seulement la loi de réciprocité quadratique de Gauss et le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet[5].
Énoncé[modifier | modifier le code]
Si un polynôme réel quadratique à deux variables se restreint en une bijection de dans , alors il s'agit nécessairement de
ou de .
Dimensions supérieures[modifier | modifier le code]
Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕn dans ℕ pour n ≥ 2, somme de coefficients binomiaux[6] :
- .
On conjecture[7] que pour tout n ≥ 2, les n! fonctions polynomiales déduites de Pn par permutation des variables sont les seules bijections polynomiales de degré n de ℕn dans ℕ, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de bijections polynomiales de degré quelconque de ℕn dans ℕ, peut-être même seulement celles déduites des Pk pour k ≤ n.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (de) G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », J. reine angew. Math., vol. 84, , p. 242-258 (lire en ligne) (le polynôme présenté ici est une adaptation de celui de Cantor (p. 257), qui ne considérait pas mais ).
- (de) Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Rationale Abzählung der Gitterpunkte », Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich, vol. 58, , p. 280-386 (lire en ligne).
- (en) Craig Smoryński, Logical Number Theory I, Springer, (lire en ligne), chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem »), p. 23-43.
- (en) M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials », Algebra i Analiz, vol. 13, no 5, , p. 1-15 (lire en ligne). Errata : ibid., vol. 14 , no 5, 2002, p. 240.
- (en) Melvyn B. Nathanson, « Cantor polynomials and the Fueter-Polya theorem », (arXiv 1512.08261).
- (en) Paromita Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8-9.
- Smoryński1991, chap. I.4, conjectures 4.2 à 4.4.