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Les notations actuarielles fournissent un standard de représentation des contrats d'assurance sur la vie ou sur la survie. Ce standard facilite l'expression des résultats de la tarification et du provisionnement basé sur les mathématiques financières et sur les tables de mortalité. Ces notations intègrent le core syllabus de l'institut des actuaires et sont à la base des enseignements en assurance vie.

Example of actuarial symbol.
1. Une assurance versant 1(\EUR{}) lorsque survient la mort.
2. payée au moment de la mort
3. pour personne âgée de $\textstyle x$ année, pour $\textstyle n$ ans
4. payé si $\textstyle (x)$ meurt dans les $\textstyle n$ ans
5. différé ($\textstyle m$ années)
6. pas de sens fixe

Notations utilisés pour la partie 'mathématiques financières'

$\textstyle i$ représente le taux d'intérêt effectif annuel.

$\textstyle i^{(m)}$ est le taux nominal annuel par période de capitalisation de $\textstyle {\frac {1}{m}}$ année. Par exemple, $\textstyle \,i^{(2)}$ est le taux d'intérêt nominal convertibles semestriellement. Le taux périodique est alors de $\textstyle {\frac {i^{(m)}}{m}}$.

$i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}$

Le taux annuel effectif est de 12, quel est le taux nominal ?

Si $\textstyle d$ est le taux d'escompte, et $\textstyle \delta$ le taux d'intérêt continu :

$\,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}$

La lettre $\textstyle v$ est utilisée pour représenter la valeur présente de 1 dans un an :

$\,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}$

Les tables de mortalité entre ($\textstyle x$) et ($\textstyle x+1$)

Une table de mortalité indique le nombre de personnes vivantes à un âge donné, sur la base d'hypothèse sur la population initiale et des lois de survie.

$\textstyle l_{x}$ est le nombre de personnes vivantes, par rapport à une cohorte initiale, à l'âge $\textstyle x$. Comme l'âge augmente le nombre de personnes vivantes diminue.

$\textstyle l_{0}$ est le point de départ de $\textstyle l_{x}$ : Le nombre de personnes vivant à l'âge 0. Ceci est connu comme la racine de la table (certaines tables de mortalité commencent à un âge supérieur à 0).

$\textstyle w$ est l'âge limite des tables de mortalité. $\textstyle l_{n}$ est égal à zéro pour tous $\textstyle n\geq w$.

$\textstyle d_{x}$ est le nombre de personnes qui meurent entre l'âge $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+1$. $\textstyle d_{x}$ peut être calculée en utilisant la formule $\textstyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}$.

$\textstyle q_{x}$ est la probabilité de décès entre les âges de $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+1$.

$\,q_{x}=d_{x}/l_{x}$

$\textstyle p_{x}$ est la probabilité que l'individu agé de $\textstyle x$ survive à l'âge $\textstyle x+1$.

Comme l'alternative entre l'âge ($\textstyle x$) et ($\textstyle x+1$) est de mourir ou survivre :

$\,p_{x}+q_{x}=1$

$\textstyle {}_{k|}q_{x}$, la probabilité que l'individu d'âge $\textstyle x$ meurt dans la $\textstyle {k+1}^{e}$ année.

$\textstyle {}_{k|}a_{x}$ une rente sur l'individu d'âge $\textstyle x$ différée $\textstyle k$ années. Le premier paiement intervient dans $\textstyle k+1$ ans.

Les tables de mortalité entre ($\textstyle x$) et ($\textstyle x+n$)

Ces symboles peuvent être étendues à plusieurs années en insérant le nombre d'années en bas à gauche du symbole de base.

$\textstyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}$ montre le nombre de personnes qui meurent entre l'âge $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+n$.

$\textstyle \,_{n}q_{x}$ est la probabilité de décès entre les âges de $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+n$.

$\,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}$

$\textstyle \,_{n}p_{x}$ est la probabilité d'une personne d'âge $\textstyle x$ de survivre à l'âge $\textstyle x+n$.

$\,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}$

Les tables de mortalité : l'espérance de vie

$\textstyle \,e_{x}$ est l'espérance de vie pour une personne encore en vie à l'âge $\textstyle x$. C'est le nombre espéré d'anniversaires à vivre.

$e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }{}_{t}p_{x}$

Une table de mortalité montre généralement le nombre de personnes vivant à des âges entiers. Une hypothèse courante est que d'une distribution uniforme de décès (UDD) entre $\textstyle x$ et $\textstyle x+1$.

$\,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}$

==
Les rentes == Le symbole de base pour la valeur actualisée d'une rente est $\textstyle a$.

1. L'exposant à droite indique la fréquence de paiement dans l'année.

1. L'indice à droite indique l'âge de la personne lors du démarrage de rente et la période pour laquelle une rente est versée.

1. Le symbole au dessus indique quand les paiements sont dûs. Deux points pour le terme à échoir ou anticipé, barre pour le versement continu et rien pour le terme échu.

$\textstyle a_{{\overline {n}}|i}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme échue.

$\,a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}$

$\textstyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme à échoir ou anticipé (paiements unitaires au début de chaque année).

${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}$

Les rentes semestrielles, trimestrielles ou mensuelles

Si le symbole $\textstyle (m)$ est ajoutée au coin supérieur droit, les paiements d'une valeur de $\textstyle 1/m$ se produisent chacune des $\textstyle m$ périodes de l'année.

$a_{{\overline {n}}|i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}},{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}$

$\textstyle {\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}$ est la valeur limite de $\textstyle \,a_{{\overline {n}}|i}^{(m)}$ quand $\textstyle m$ tends vers l'infini. La rente sous-jacente est connue comme une rente continue.

${\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}$

$\textstyle \,s_{{\overline {n}}|i}$ est la valeur accumulée de la rente à la date du dernier paiement.

Capitaux décès

Le symbole de base pour un capital décès est $\textstyle \,A$.

$\textstyle A_{x}$ indique une prestation au décès à la fin de l'année de la mort (montant de 1).

$\textstyle A_{x}^{(12)}$ indique une prestation payable à la fin du mois du décès.

$\textstyle {\overline {A}}_{x}$ indique une prestation payée à la date du décès.

L'assurance sur plusieurs individus

$\textstyle a_{xyz}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent $\textstyle (x)$, $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$.

$\textstyle a_{\overline {xyz}}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent $\textstyle (x)$, $\textstyle (y)$ ou $\textstyle (z)$.

$a_{\overline {xy}}=a_{y}+a_{x}-a_{xy}$

$\textstyle A_{xyz}$ est une assurance qui intervient à la fin de l'année du premier décès de $\textstyle (x)$, $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$.

La barre verticale indique la conditionnalité :

$\textstyle a_{x|y}$ est une rente de reversion qui profite à $\textstyle (x)$ après le décès de $\textstyle (y)$.

$\textstyle A_{x|yz}$ est une assurance au premier décès de $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$.